Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости
Системы координат на плоскости. Основные приложения метода координат на плоскости. Преобразование системы координат. [3, §9]. Уравнения прямой линии на плоскости. Основные задачи о прямой линии. [3, §10]. Линии второго порядка на плоскости. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Общее уравнение линий второго порядка. [3, §11].
Пример 6. Даны координаты вершин треугольника :
,
,
. Найти: 1) длину стороны
; 2) уравнения сторон
и
и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол
в радианах с точностью до
; 4) уравнение высоты
и ее длину, не используя координаты точки
; 5) уравнение медианы
; 6) точку пересечения высот треугольника
. Сделать чертеж.
Решение: Сделаем чертеж:
1. Расстояние между точками и
находится по формуле
.
В данном случае .
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и
имеет вид
.
Следовательно, для прямой имеем
– общее уравнение прямой
.
Аналогично, для прямой имеем
– общее уравнение прямой
.
Найдем угловые коэффициенты прямых и
. Для этого перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом
.
Для прямой имеем
, то есть
– угловой коэффициент прямой
. Для прямой
получим
, значит
– угловой коэффициент прямой
.
3. Учитывая, что угол острый, воспользуемся формулой
.
Имеем , откуда
4. Для нахождения уравнения высоты воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку
с заданным угловым коэффициентом
:
.
В данном случае ;
(координаты точки
). Так как прямые
и
перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением
, откуда
. Значит, уравнение высоты
будет иметь вид:
или
.
Для нахождения длины высоты воспользуемся формулой расстояния
от заданной точки
до прямой
:
.
В данном случае ,
(координаты точки
);
;
;
(коэффициенты из общего уравнения прямой
). Следовательно,
.
5. Уравнение медианы составим, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Так как – медиана, то координаты точки
найдем как координаты середины отрезка
:
;
, то есть
. Тогда уравнение медианы
будет иметь вид:
или
.
6. Для нахождения координат точки пересечения высот треугольника
найдем уравнение высоты
.
Уравнение высоты находим по формуле
. По условию
,
. Так как прямые
и
перпендикулярны, то
;
. Значит, уравнение высоты
будет иметь вид
или
.
Составляем и решаем систему уравнений:
Значит,
.
Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой
, если
равно эксцентриситету эллипса
.
Решение: Эксцентриситет эллипса
равен
, где
.
В данном случае эллипс задан уравнением или
, то есть
. Значит, эксцентриситет эллипса равен
и искомая прямая проходит через точку
.
Так как эта прямая параллельна прямой , то их угловые коэффициенты равны. Так как
, то угловой коэффициент искомой прямой
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом
, имеет вид:
. Значит, искомое уравнение:
или
.