Уравнение прямой на плоскости

Прямую на плоскости можно задавать уравнениями разных видов. Для решения задач следует использовать уравнение, наиболее удобное для данной задачи.

Уравнение с угловым коэффициентом:

y = kx + b. (3)

В этом уравнении угловой коэффициент k – это тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс. Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Недостаток этого уравнения: им невозможно задать вертикальную прямую x = a.

Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0. (4)

Этим уравнением можно задать любую прямую. Коэффициенты А, В, С при этом определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Уравнение прямой в отрезках:

.(5)

Здесь знаменатели а и b – это координаты точек пересечения прямой с соответствующими координатными осями. С помощью такого уравнения невозможно задать прямую, проходящую через начало координат или параллельную одной из осей.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M₁(x₁, y₁) и M₁(x₂, y₂):

. (6)

В этом уравнении один из знаменателей может оказаться равным 0. Тогда общее уравнение прямой получаем, приравнивая к 0 соответствующий числитель (на другую часть уравнения не обращаем внимания).

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M(x₀, y₀) с угловым коэффициентом k:

y – y₀ = k(x – x₀). ( 7)

Каноническое уравнение прямой:

. (8)

Здесь M(x₀, y₀) – точка, через которую проходит прямая, а (m, n) – направляющий вектор, задающий направление прямой.

Любой из приведенных видов уравнений легко преобразовать в любой другой.

Дополнительные формулы.

Угол между двумя прямыми.

Пусть прямые имеют угловые коэффициенты k₁ и k₂. Тогда угол j между ними определяется из условия

. (9)

Условие перпендикулярности двух прямыхс угловыми коэффициентами k₁ и k₂:

k₁ k₂ = –1. (10)

Условие параллельности двух прямыхс угловыми коэффициентами k₁ и k₂:

k₁ = k₂ . (11)

Расстояние от точки M(x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0:

.(12)

Площадь треугольника АВС с вершинами А(x₁, y₁), В(x₂, y₂), С(x₃, y₃):

. (13)

Пример 1.4.2.Даны три точки А(3; 1), В(–2; 3), С(1; –2). а) Построить уравнение прямой АВ; б) Найти тангенс угла между прямыми АВ и АС; в) построить уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С;
г) построить уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С; д) найти расстояние между точками А и С; е) найти расстояние между точкой С и прямой АВ; ж) найти площадь треугольника АВС.

Решение. а) Воспользуемся формулой (6):

;

;

2x – 6 = –5y + 5;

2x + 5y – 11 = 0 – общее уравнение прямой.

б) Приведем уравнение прямой АВ, полученное в пункте а) к виду (3):

.

Отсюда ее угловой коэффициент . Аналогично находим угловой коэффициент прямой АС, построив ее уравнение:

;

–3x + 9 = –2y + 2;

3x – 2y – 7 = 0;

;

.

Теперь по формуле (9) получаем

.

в) Угловой коэффициент k₃ перпендикуляра к АВ находим из условия (10): k₁ k₃ = –1, где из пункта б). Отсюда . Уравнение перпендикуляра находим по формуле (7):

y – (–2) = ;

2y + 4 = 5x – 5;

5x – 2y – 9 = 0.

г) Согласно формуле (11), угловой коэффициент прямой, параллельной АВ, также равен . Поэтому по формуле (7) получаем уравнение

y – (–2) = ;

5y + 10 = –2x + 2;

2x + 5y + 8 = 0.

д) Воспользуемся формулой (1):

.

е) Воспользуемся формулой (12) и уравнением прямой АВ из пункта а):

.

ж)Воспользуемся формулой (13):

.

У п р а ж н е н и я

1.5.1. Построить уравнение прямой, пересекающей координатные оси в точках (2; 0) и (0; –3).

1.5.2. Даны три точки А(–2; 1), В(1; –3), С(2; 3). а) Построить уравнение прямой АВ; б) найти тангенс угла между прямыми АВ и АС; в) построить уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С; г) построить уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С; д) найти расстояние между точками А и В; е) найти расстояние между точкой С и прямой АВ; ж) найти площадь треугольника АВС.

Векторная геометрия

В геометрическом векторном пространстве стандартный базис состоит из векторов, имеющих единичную длину, расположенных по координатным осям и направленных в положительную сторону соответствующих координатных осей. Векторы, соответствующие осям 0x, 0y, 0z, обозначают соответственно , , и называют основными или базовыми ортами.

Проекция вектора на прямую – это вектор, начало и конец которого есть проекции начала и конца вектора на эту прямую.

В разложении вектора = (a₁, a₂, a₃) по базису: = a₁ + a₂ + a₃ слагаемые являются проекциями вектора на соответствующие координатные оси.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными; параллельные одной плоскости – компланарными.

Перпендикулярные векторы называют ортогональными.

Если = (a, b, c) и известны координаты точки A(x₁, y₁, z₁), то координаты точки B(x₂, y₂, z₂) находим сложением этих координат: x₂ = x₁ + a, y₂ = y₁ + b, z₂ = z₁ + c. Аналогично координаты начала вектора получаются из координат конца вычитанием координат вектора.

Пример 1.6.1.Найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, если заданы координаты А(2, –1, 1), В(4, 2, 0), С(–3, 1, –2).

Решение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы было наглядно видно, какие векторы использовать в вычислениях. Замечаем, что

= = (–3 – 4, 1 – 2, –2 – 0) = (–7, –1, –2),

и получаем координаты D(2 – 7, –1 – 1, 1 – 2), или D(–5, –2, –1).

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и определяется формулой:

= cosa, (1)

где a – угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. = .

2. = .

3. = .

4. .

5. Критерий ортогональности векторов: .

6. Если = (a₁, a₂, a₃), = (b₁, b₂, b₃) то = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Такая же формула с двумя слагаемыми для плоского случая.

Пример 1.6.2.Найти косинус угла a между векторами = (2, –1, 3), и = (3, 2, –2).

Решение. Из формулы (1) получаем cosa = ;

= = –2;

;

;

cosa = .

Пример 1.6.3.Найти площадь треугольника АВС, если заданы координаты вершин А(2, –1, 3), В(3, 2, –2), С(0, 3, 1).

Решение. Площадь находим по формуле , где a – угол между АВ и АС. Вводим векторы

= (3 – 2, 2 – (–1), –2 – 3) = (1, 3, –5);

= (0 – 2, 3 – (–1), 1 – 3) = (–2, 4, –2).

cosa находим, как в примере 1.6.2:

= –2 + 12 + 10 = 20;

; ;

cosa = ;

;

.

Замечание. При вычислении sina сокращение не производилось специально, чтобы упростить вычисления на последнем шаге.

Векторное произведение

Упорядоченная тройка векторов , , пространства называется правой, если при совмещении их начал в одной точке из конца вектора поворот от к наблюдается против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Эта характеристика называется ориентацией тройки векторов.

Если векторы в тройке сдвинуть по кругу, то ориентация не изменится. Если же поменять местами два вектора, то ориентация изменится на противоположную.

Векторным произведением векторов и называется вектор = ´ такой, что:

(a) , где a – угол между векторами;

(b) , ;

(c) векторы , , образуют правую тройку.

Свойства векторного произведения:

1. ´ = – ´ (антикоммутативность).

2. = .

3. = .

4. Критерий коллинеарности векторов: .

5. .

6. Геометрический смысл векторного произведения: площадь параллелограмма, стороны которого задаются векторами и , равна модулю их векторного произведения: .

7. Если = (a₁, a₂, a₃), = (b₁, b₂, b₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

Пример 1.6.4.Найти векторное произведение векторов = (2, –1, 3), и
= (3, 2, –2).

Решение. По свойству (7) получаем

=

= (2 – 6) – (–4 – 9) + (4 + 3) = –4 + 13 + 7 = (–4, 13, 7).

Пример 1.6.5.Найти площадь параллелограмма ABCD, если заданы координаты вершин A(3, 2, 0), C(2, –1, 2) D(1, 3, –4).

Решение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке, чтобы понять, какие векторы задают стороны параллелограмма. Так как заданы точки A, C, D, то естественно использовать векторы и (хотя направление векторов не имеет значения, можно взять противоположные векторы):

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (10, –8, –7);

.

Смешанное произведение

Смешанным произведением векторов , , называется число ( ´ ) .