Применение степенных рядов к приближенным вычислениям

Теория рядов имеет большое практическое применение ввиду возможности представления функции f (x) в виде бесконечного ряда более простых функций, в частности, степенного ряда.

а) Разложения, полученные в предыдущем параграфе, позволяют приближенно вычислять частные значения функции.

Пример 15. Вычислим . Полагая в разложении для функции e^x значение x = , получим:

Если отбросить все члены, начиная с шестого, то погрешность вычисления будет меньше . Отсюда » 1,646.

Пример 16. Вычислить . Полагая в разложении для значение x = =0,17(4), получим

Если отбросить все члены, начиная с третьего, то погрешность будет по абсолютной величине меньше , тогда . Как видно из полученного результата, значение для малых углов сравнимо со значением угла ( » x).

б) Используя разложения функций в степенные ряды, можно вычислять определенные интегралы, которые не выражаются через элементарные функции.

Пример 17. Вычислить интеграл .

Разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении (28) x на -x²:

Интегрируя обе части равенства, получим

=

При a = 1 погрешность вычисления интеграла, если отбросить все члены ряда, начиная с четвертого, составит по абсолютной величине .

в) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов используется тогда, когда непосредственное интегрирование дифференциального уравнения невозможно. В таких случаях прибегают к приближенному методу - представлению решения уравнения в виде суммы конечного числа членов ряда Тейлора или Маклорена. Разберем сказанное на примере.

Пример 18. Найти решение уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(0) = 0.

Найдем значение первой производной при x = 0: . Продифференцируем исходное уравнение:

.

Найдем значение второй производной при x = 0: . Этот процесс можно продолжить. Подставляя значения производных в ряд (26¢), получим

Увеличивая число слагаемых можно получить приближение для y(x) с любой степенью точности.

1) Виды дифференциальных уравнений и методы их решения

			Метод решения
	Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными:		почленное интегрирование.
	Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными		приведение к уравнению с разделёнными переменными, интегрирование.
	Линейное дифференциальное уравнение первого порядка		с помощью подстановки. , где , , сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

			Метод решения
	Уравнение Бернулли	, где	с помощью подстановки. , где , , сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
	Однородное дифференциальное уравнение первого порядка		подстановка. , где ,

2) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

		Метод решения
	y'' + py' + qy = 0, где p, q – const	с помощью характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, имеющего корни k1 и k2

3) Вид общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения k2 + pk + q = 0	Фундаментальная система решений.	Общее решение уравнения y'' + py' + qy = 0
1 k1 ≠ k2 – действительные различные числа.	;
2 k1 = k2 = k – действительные одинаковые числа.	;
3 , – комплексно-сопряжённые числа,	,

4) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

		Метод решения
	y'' + py' + q = f (x), где p, q – const	Структура решения: , где yоо – общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному; yчн – некоторое частное решение данного неоднородного уравнения.

5) Вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

Правая часть уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения уравнения yчн
1.	k1 ≠ k2, а ≠ k1 а ≠ k2
	k1 ≠ k2, причем а = k1, а ≠ k2 или а ≠ k1, а = k2
	k1 = k2 = α
		– многочлен той же степени, что и , с неизвестными коэффициентами
2 ; а = 0	а ≠ k1, а ≠ k2
	а = k1, а ≠ k2 или а ≠ k1, а = k2
3 A, B, β– заданные числа	k1,2 ≠ а ± β i ( ) а=0	, M, N – неизвестные постоянные
k1,2 = а ± β i ( ) а=0	, M, N – неизвестные постоянные

Правая часть уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения уравнения yчн
4 где а β i-комплексные числа, составленные по виду правой части исходного дифференциального уравнения.
		– многочлены одной и той же степени m с неизвестными различными коэффициентами.

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию:

Решение

1) Разделим обе части уравнения на

- линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, общий вид которого

Общее решение данного уравнения найдем в виде - неизвестные дифференцируемые функции которые надо найти.

2) , получаем уравнение:

; (*)

3) Найдем какую-нибудь функцию u, для которой выполняется равенство - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

, разделим переменные

Найдем неопределенные интегралы от обеих частей равенства:

, так как

, полагаем с=0 (так как надо найти одну из функций u). Следовательно

4) Подставим в уравнение

; ; - разделим переменные

, интегрируем обе части равенства:

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Итак,

5) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значения постоянной с по начальному условию, данному в задании.

при , получаем равенство

, так как , то .

Следовательно,

Ответ:

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям

Решение

1) Составим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента вида (ЛОДУ):

Характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни.

- мнимая единица

Общее решение ЛОДУ:

2) Так как правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) имеет вид - многочлен второй степени, е^ах показательная функция отсутствует, то есть а=0 – не является корнем характеристического уравнения, составленного выше, то частное решение ЛНДУ будем искать в виде многочлена второй степени с неизвестными коэффициентами:

Подставим в данное ЛНДУ уравнение:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x, находим:

Отсюда , поэтому общее решение ЛНДУ имеет вид

3) Находим частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задании:

6) Виды дифференциальных уравнений и методы их решения

			Метод решения
	Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными:		почленное интегрирование.
	Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными		приведение к уравнению с разделёнными переменными, интегрирование.
	Линейное дифференциальное уравнение первого порядка		с помощью подстановки. , где , , сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

			Метод решения
	Уравнение Бернулли	, где	с помощью подстановки. , где , , сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
	Однородное дифференциальное уравнение первого порядка		подстановка. , где ,

7) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

		Метод решения
	y'' + py' + qy = 0, где p, q – const	с помощью характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, имеющего корни k1 и k2

8) Вид общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения k2 + pk + q = 0	Фундаментальная система решений.	Общее решение уравнения y'' + py' + qy = 0
1 k1 ≠ k2 – действительные различные числа.	;
2 k1 = k2 = k – действительные одинаковые числа.	;
3 , – комплексно-сопряжённые числа,	,

9) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

		Метод решения
	y'' + py' + q = f (x), где p, q – const	Структура решения: , где yоо – общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному; yчн – некоторое частное решение данного неоднородного уравнения.

10) Вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

Правая часть уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения уравнения yчн
1.	k1 ≠ k2, а ≠ k1 а ≠ k2
	k1 ≠ k2, причем а = k1, а ≠ k2 или а ≠ k1, а = k2
	k1 = k2 = α
		– многочлен той же степени, что и , с неизвестными коэффициентами
2 ; а = 0	а ≠ k1, а ≠ k2
	а = k1, а ≠ k2 или а ≠ k1, а = k2
3 A, B, β– заданные числа	k1,2 ≠ а ± β i ( ) а=0	, M, N – неизвестные постоянные
k1,2 = а ± β i ( ) а=0	, M, N – неизвестные постоянные

Правая часть уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения уравнения yчн
4 где а β i-комплексные числа, составленные по виду правой части исходного дифференциального уравнения.
		– многочлены одной и той же степени m с неизвестными различными коэффициентами.

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию:

Решение

2) Разделим обе части уравнения на

- линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, общий вид которого

Общее решение данного уравнения найдем в виде - неизвестные дифференцируемые функции которые надо найти.

2) , получаем уравнение:

; (*)

3) Найдем какую-нибудь функцию u, для которой выполняется равенство - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

, разделим переменные

Найдем неопределенные интегралы от обеих частей равенства:

, так как

, полагаем с=0 (так как надо найти одну из функций u). Следовательно

4) Подставим в уравнение

; ; - разделим переменные

, интегрируем обе части равенства:

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Итак,

5) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значения постоянной с по начальному условию, данному в задании.

при , получаем равенство

, так как , то .

Следовательно,

Ответ:

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям

Решение

2) Составим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента вида (ЛОДУ):

Характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни.

- мнимая единица

Общее решение ЛОДУ:

2) Так как правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) имеет вид - многочлен второй степени, е^ах показательная функция отсутствует, то есть а=0 – не является корнем характеристического уравнения, составленного выше, то частное решение ЛНДУ будем искать в виде многочлена второй степени с неизвестными коэффициентами:

Подставим в данное ЛНДУ уравнение:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x, находим:

Отсюда , поэтому общее решение ЛНДУ имеет вид

3) Находим частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задании: