Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
Теория рядов имеет большое практическое применение ввиду возможности представления функции f (x) в виде бесконечного ряда более простых функций, в частности, степенного ряда.
а) Разложения, полученные в предыдущем параграфе, позволяют приближенно вычислять частные значения функции.
Пример 15. Вычислим . Полагая в разложении для функции ex значение x =
, получим:
Если отбросить все члены, начиная с шестого, то погрешность вычисления будет меньше . Отсюда
» 1,646.
Пример 16. Вычислить . Полагая в разложении для
значение x =
=0,17(4), получим
Если отбросить все члены, начиная с третьего, то погрешность будет по абсолютной величине меньше , тогда
. Как видно из полученного результата, значение
для малых углов сравнимо со значением угла (
» x).
б) Используя разложения функций в степенные ряды, можно вычислять определенные интегралы, которые не выражаются через элементарные функции.
Пример 17. Вычислить интеграл .
Разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении (28) x на -x2:
Интегрируя обе части равенства, получим
=
При a = 1 погрешность вычисления интеграла, если отбросить все члены ряда, начиная с четвертого, составит по абсолютной величине .
в) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов используется тогда, когда непосредственное интегрирование дифференциального уравнения невозможно. В таких случаях прибегают к приближенному методу - представлению решения уравнения в виде суммы конечного числа членов ряда Тейлора или Маклорена. Разберем сказанное на примере.
Пример 18. Найти решение уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(0) = 0.
Найдем значение первой производной при x = 0: . Продифференцируем исходное уравнение:
.
Найдем значение второй производной при x = 0: . Этот процесс можно продолжить. Подставляя значения производных в ряд (26¢), получим
Увеличивая число слагаемых можно получить приближение для y(x) с любой степенью точности.
1) Виды дифференциальных уравнений и методы их решения
Метод решения | |||
Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными: | ![]() | почленное интегрирование. | |
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными | ![]() | приведение к уравнению с разделёнными переменными, интегрирование. | |
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка | ![]() | с помощью подстановки. ![]() ![]() ![]() ![]() |
Метод решения | |||
Уравнение Бернулли | ![]() ![]() | с помощью подстановки. ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка | ![]() | подстановка. ![]() ![]() ![]() |
2) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Метод решения | ||
y'' + py' + qy = 0, где p, q – const | с помощью характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, имеющего корни k1 и k2 |
3) Вид общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Корни характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 | Фундаментальная система решений. | Общее решение уравнения y'' + py' + qy = 0 |
1 k1 ≠ k2 – действительные различные числа. | ![]() ![]() | ![]() |
2 k1 = k2 = k – действительные одинаковые числа. | ![]() ![]() | ![]() |
3 ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() |
4) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Метод решения | ||
y'' + py' + q = f (x), где p, q – const | Структура решения: ![]() |
5) Вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами
Правая часть уравнения | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения уравнения yчн |
1. ![]() | k1 ≠ k2, а ≠ k1 а ≠ k2 | ![]() |
k1 ≠ k2, причем а = k1, а ≠ k2 или а ≠ k1, а = k2 | ![]() | |
k1 = k2 = α | ![]() | |
![]() ![]() | ||
2 ![]() | а ≠ k1, а ≠ k2 | ![]() |
а = k1, а ≠ k2 или а ≠ k1, а = k2 | ![]() | |
3 ![]() | k1,2 ≠ а ± β i ( ![]() | ![]() |
k1,2 = а ± β i ( ![]() | ![]() |
Правая часть уравнения | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения уравнения yчн | |
4 ![]() ![]() ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ||
![]() | |||
Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальному условию:
Решение
1) Разделим обе части уравнения на
- линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, общий вид которого
Общее решение данного уравнения найдем в виде - неизвестные дифференцируемые функции которые надо найти.
2)
, получаем уравнение:
;
(*)
3) Найдем какую-нибудь функцию u, для которой выполняется равенство - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
, разделим переменные
Найдем неопределенные интегралы от обеих частей равенства:
, так как
, полагаем с=0 (так как надо найти одну из функций u). Следовательно
4) Подставим
в уравнение
;
;
- разделим переменные
, интегрируем обе части равенства:
Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
.
Итак,
5) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значения постоянной с по начальному условию, данному в задании.
при
, получаем равенство
, так как
, то
.
Следовательно,
Ответ:
Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям
Решение
1) Составим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента вида (ЛОДУ):
Характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни.
- мнимая единица
Общее решение ЛОДУ:
2) Так как правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) имеет вид - многочлен второй степени, еах показательная функция отсутствует, то есть а=0 – не является корнем характеристического уравнения, составленного выше, то частное решение ЛНДУ будем искать в виде многочлена второй степени с неизвестными коэффициентами:
Подставим в данное ЛНДУ уравнение:
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x, находим:
Отсюда , поэтому общее решение ЛНДУ имеет вид
3) Находим частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задании:
6) Виды дифференциальных уравнений и методы их решения
Метод решения | |||
Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными: | ![]() | почленное интегрирование. | |
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными | ![]() | приведение к уравнению с разделёнными переменными, интегрирование. | |
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка | ![]() | с помощью подстановки. ![]() ![]() ![]() ![]() |
Метод решения | |||
Уравнение Бернулли | ![]() ![]() | с помощью подстановки. ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка | ![]() | подстановка. ![]() ![]() ![]() |
7) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Метод решения | ||
y'' + py' + qy = 0, где p, q – const | с помощью характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, имеющего корни k1 и k2 |
8) Вид общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Корни характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 | Фундаментальная система решений. | Общее решение уравнения y'' + py' + qy = 0 |
1 k1 ≠ k2 – действительные различные числа. | ![]() ![]() | ![]() |
2 k1 = k2 = k – действительные одинаковые числа. | ![]() ![]() | ![]() |
3 ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() |
9) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Метод решения | ||
y'' + py' + q = f (x), где p, q – const | Структура решения: ![]() |
10) Вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами
Правая часть уравнения | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения уравнения yчн |
1. ![]() | k1 ≠ k2, а ≠ k1 а ≠ k2 | ![]() |
k1 ≠ k2, причем а = k1, а ≠ k2 или а ≠ k1, а = k2 | ![]() | |
k1 = k2 = α | ![]() | |
![]() ![]() | ||
2 ![]() | а ≠ k1, а ≠ k2 | ![]() |
а = k1, а ≠ k2 или а ≠ k1, а = k2 | ![]() | |
3 ![]() | k1,2 ≠ а ± β i ( ![]() | ![]() |
k1,2 = а ± β i ( ![]() | ![]() |
Правая часть уравнения | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения уравнения yчн | |
4 ![]() ![]() ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ||
![]() | |||
Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальному условию:
Решение
2) Разделим обе части уравнения на
- линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, общий вид которого
Общее решение данного уравнения найдем в виде - неизвестные дифференцируемые функции которые надо найти.
2)
, получаем уравнение:
;
(*)
3) Найдем какую-нибудь функцию u, для которой выполняется равенство - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
, разделим переменные
Найдем неопределенные интегралы от обеих частей равенства:
, так как
, полагаем с=0 (так как надо найти одну из функций u). Следовательно
4) Подставим
в уравнение
;
;
- разделим переменные
, интегрируем обе части равенства:
Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
.
Итак,
5) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значения постоянной с по начальному условию, данному в задании.
при
, получаем равенство
, так как
, то
.
Следовательно,
Ответ:
Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям
Решение
2) Составим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента вида (ЛОДУ):
Характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни.
- мнимая единица
Общее решение ЛОДУ:
2) Так как правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) имеет вид - многочлен второй степени, еах показательная функция отсутствует, то есть а=0 – не является корнем характеристического уравнения, составленного выше, то частное решение ЛНДУ будем искать в виде многочлена второй степени с неизвестными коэффициентами:
Подставим в данное ЛНДУ уравнение:
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x, находим:
Отсюда , поэтому общее решение ЛНДУ имеет вид
3) Находим частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задании: