Главные позиционные задачи

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по курсу «Начертательная геометрия»

Методические указания по решению задач в рабочей тетради

Тольятти 2007

Содержание

Модуль №1. 4

Точка. 4

Задача №1. 4

Задача №2. 7

Линия. 9

Задача №3. 9

Задача №4. 9

Задача №6. 10

Задача №8. 11

Задача №10. 12

Задача №11. 13

Задача №13. 14

Задача №12. 16

Модуль №2. 19

Плоскость. 19

Задача №17. 19

Задача №18. 21

Задача №20. 24

Задача №21. 26

Задача №22. 26

Задача №23. 28

Задача №24. 31

Задача №25. 31

Задача №26. 34

Задача №27. 36

Задача №30. 37

Задача №31. 37

Поверхность. 41

Задача №32. 41

Задача №23. 42

Задача №34. 44

Задача № 35. 47

Задача №36. 50

Задача №37. 50

Задача №38. 53

Задача №40. 57

Задача №41. 57

Задача №42. 60

Задача №43. 63

Задача №46. 65

Задача №47. 69

Задача №47. 72

Задача №48. 73

Задача №50. 75

Модуль №3. 79

Главные позиционные задачи. 79

Решение задач по 1 и 2 алгоритмам.. 79

Задача №55. 79

Задача №57. 80

Задача №58. 81

Задача №60. 84

Задача №61. 92

Задача №64. 94

Задача №67. 96

Задача №71. 99

Задача №73. 103

Задача №76. 106

Задача №78. 108

Модуль №4. 110

Метрические задачи. 110

Задача №81. 110

Задача №82. 111

Задача №83. 112

Задача №84. 113

Задача №85. 113

Задача №86. 114

Задача №87. 115

Задача №88. 116

Задача №89. 116

Задача №90. 118

Задача №91. 119

Задача №92. 120

Задача №93. 121

Задача №95. 122

Метод введения новой плоскости проекций. 123

Задача №100. 123

Задача №101. 126

Задача №102. 127

Задача №103. 130

Задача №104. 130

Задача №105. 132

Задача №106. 134

Задача №107. 136

Задача №107. 138

Задача №109. 141

Задача №110. 145

Метод вращения вокруг проецирующей оси. 148

Задача №115. 148

Задача №116. 149

Задача №117. 150

Модуль №1

Точка

Задача №1

Построить комплексные чертежи точек: А(15,30,0), В(30,25,15), С(30,10,15), D(15,30,20)

Решение задачи разделим на четыре этапа.

1. А(15,30,0); xA= 15 мм; yA = 30мм; zA = 0.

Как Вы думаете, если у точки А координата zA=0, то какое положение она занимает в пространстве?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 1.1

Так выглядит комплексный чертеж точки А построенный по заданным координатам

Если у точки одна координата равна нулю, то точка принадлежит одной из плоскостей проекции. В данном случае у точки нет высоты: z = 0, следовательно точка А лежит в плоскости П1.

На комплексном чертеже оригинал (т.е. сама точка А) не изображается, есть только ее проекции.

2. В(30,25,15) и С(30,10,15).

На втором этапе объединим построение двух точек.

xB = 30мм; xC = 30мм

yB = 35мм; yC = 10мм

zB = 15мм; zC = 15мм

У точек В и С: xB = xC = 30мм, zB = zC = 15мм

а) Координаты х точек одинаковы, следовательно, в системе П1 – П2 проекции точек лежат на одной линии связи (рис. 1.2),

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 1.2

б) Координаты z точек совпадают, (обе точки одинаково удалены от П1 на 15мм,) т.е. они расположены на одной высоте, следовательно на П2 проекции точек совпадают: В2 = (С2).

в) Для определения видимости относительно П2 смотрим на рис. 1.3. Наблюдатель видит точку В, которая закрывает собой точку С, т.е. точка В расположена ближе к наблюдателю, поэтому на П2 она видима. (См. М1 - 13 и 16).

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 1.3

В системе П2П3 проекции точек также лежат на одной линии связи и видимость определяется по стрелке (рис. 1.2).

Точки В и С - называются фронтально конкурирующими.

3. D(15,30,20); xD = 15мм; yD = 30мм; zD = 20мм.

а) На этом комплексном чертеже (рис. 1.4) построены три проекции точки D(D1, D2, D3).

Все три координаты имеют числовые значения, отличные от нуля, поэтому точка не принадлежит ни одной плоскости проекций.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 1.4

б) Совместим пространственное изображение А и D (рис. 1.5). В системе П12 проекции точек А и D лежат на одной линии связи, только точка D выше точки А, следовательно D - видима, а А - невидима (видима на П1 та точка, которая расположена выше)

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 1.5

На четвертом, завершающем этапе, соединим все три фрагмента комплексных чертежей точек А,В,С,D в один общий.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 1.6

Точки А и D - называются горизонтально конкурирующими.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 1.7

Задача №2

На заданных линиях связи построить проекции точек В и С: точка В расположена выше точки А на 10мм и ближе к наблюдателю на 15мм; точка С расположена ниже точки А на 10мм и ближе к плоскости П2 на 5мм.

Решение задачи осуществляется на безосном комплексном чертеже.

1. Распределим линии связи для точек В и С

Главные позиционные задачи - student2.ru

2. Проведем вспомогательные линии ^ А1А2, пересекая линии связи точек В и С.

Верхняя горизонтальная линии от А2 будет определять уровень точек В и С относительно П1, по сравнению с точкой А, т.е. "выше - ниже" А:

Точка В выше на 10мм, чем точка А относительно П1

Точка С ниже на 10мм, чем точка А относительно П1

Главные позиционные задачи - student2.ru

3. Нижняя горизонтальная линия от А1 будет границей расположения точек В и С относительно П2, по сравнению с точкой А, т.е. "ближе - дальше" от наблюдателя:

Точка В ближе на 15мм к наблюдателю, чем А,

Точка С дальше от наблюдателя, т.е. ближе к П2 на 5мм, чем точка А.

Главные позиционные задачи - student2.ru

4. Убираем все вспомогательные построения.

Задача решена.

Линия

Задача №3

Для решения этой задачи, при необходимости, можно воспользоваться Модулем №1(стр. 20)

Задача №4

Построить проекции отрезка АВ горизонтали h(h1h2) || П1 если Ðb=30°, |АВ| = 40мм, точка В удалена от П2 дальше, чем точка А.

Решить эту задачу, значит построить точка В(В1В2).

h2 ^ линии связи,

h1 - проецируется в истинную величину;

Ðb - угол наклона горизонтали к П2 проецируется без искажения.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Алгоритм построения.

1. Горизонталь начинаем строить с фронтальной плоскости: h2 ^ лин. связи. Можно ли отложить на этой линии 40мм и построить точку В2? Нельзя, т.к. h2 проецируется с искажением.

Главные позиционные задачи - student2.ru

2. На П1 проведем вспомогательную прямую из А ^ А1А2.

3. Построим угол Ðb. Его можно отложить вверх от вспомогательной линии и вниз, но в задаче дано, что точка В удалена от П2 дальше, чем точка А, поэтому луч для Ðb = 30° откладываем вниз.

4. На этом луче откладываем расстояние, равное 40мм и получаем: h1 = А1В1 = |АВ|

Главные позиционные задачи - student2.ru

5. Так как мы построили горизонтальную проекцию точки В Þ В1, то для определения В2 достаточно провести линию связи до пересечения с h2 Þ В2.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Задача №6

Построить проекции отрезка |МN| =30мм горизонтально проецирующей прямой при условии, что точка В делит отрезок пополам.

Главные позиционные задачи - student2.ru

1. Горизонтально проецирующая прямая MN параллельна сразу двум плоскостям проекций: П1 и П2.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Отложить 15мм вверх и вниз от точки В2

2. Фронтальная ее проекция – M2N2 проецируется без искажения на П2 и совпадает с линиями связи, а горизонтальная проекция проецируется в точку, которая называется главной проекцией и обладает собирательными свойствами (М1=N11).

Главные позиционные задачи - student2.ru

B1=N1=M1 – горизонтально конкурирующие точки

Задача №8

Определить истинную длину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям проекций П1 и П2

1. Анализ условия: ни одна из проекций отрезка АВ не || и не ^ линиям связи, значит задана прямая общего положения (Модуль №1, стр. 20).

Главные позиционные задачи - student2.ru

A1B1 – первый катет. Перпендикуляр к A1B1 можно провести как из точки A1 так и из В1

2. Двухкартинный чертеж Монжа обратим, поэтому для нахождения натуральной величины отрезка АВ применяют метод прямоугольного треугольника. (Модуль №1, стр. 14).

Главные позиционные задачи - student2.ru

А1А0 – второй катет. Гипотенуза А0В1 – это натуральная величина |AB| - это натуральная величина |AB|. Угол a - есть угол наклона AB к П1.

Аналогично, можно найти натуральную величину отрезка АВ и угол (b) наклона данного отрезка АВ к П2, построив прямоугольный треугольник на П2. Самостоятельно.

Задача №10

Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ, если Ðb = 20° (угол наклона к П2), точка В дальше от П2, чем точка А.

Решение задачи сводится к построению горизонтальной проекции точки В Þ В1, т.е. надо определить разность удаления концов отрезка АВ до П2.

Как это можно сделать?

Только построив прямоугольный треугольник на П2 для этого информации?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Да, т.к. есть один катет А2В2 и угол наклона гипотенузы к нему.

Провести линию связи из В2 т.к. В12 находятся на одной линии связи. Провести из точки А вспомогательную прямую ^ А1А2 т.к. по условию точка В дальше от П2, чем точка А.

Главные позиционные задачи - student2.ru

А2В2 - первый катет. Перпендикуляр (второй катет) можно проводить из любой точки А2 или В2.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Построить из точки А2 угол 20° (перенести графически) с помощью циркуля.

Главные позиционные задачи - student2.ru

В2В0 (Dу) - второй катет. Гипотенуза А2В0 -натуральная величина отрезка АВ.

В2В0 - значение второго катета отложить от точки В Þ В1.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Задача №11

Через точку А провести прямую m ° n, если EÎm, CÎn, точка Е расположена перед С на 10мм.

Прямые m и n скрещивающиеся, значит у них нет общих точек. Точки Е и С - фронтально конкуририрующие, т.е. точки С и Е лежат на одном ^ к П2, поэтому С1 и Е1 лежат на одной линии связи.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Продлите линию связи из точки С1. От С1 отложите 10 мм ближе к наблюдателю Þ получим точку Е1

Главные позиционные задачи - student2.ru

Через две точки А1 и Е1, проводим m1, точка Е(Е1) расположена ближе к наблюдателю, значит на П2 фронтальная проекция точки С(С2) - невидима, взять в скобки..

Главные позиционные задачи - student2.ru

Точки D и F - горизонтально конкурирующие, построить их фронтальные проекции и определить видимость самостоятельно (Модуль №1, стр.26).

Задача №13

Построить горизонтальную проекцию плоской кривой m.

11 = ?, 21 = ?, m1 = ?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Для построения проекций плоской кривой применяется метод хорд. Кривая считается плоской, если проекции точки пересечения проекций одноименных хорд лежат на одной линии связи (Модуль №1, стр. 29).

Главные позиционные задачи - student2.ru

Строим хорду АВ на П1 и П2. На П2 строим фронтальную проекцию хорды 12С2.

А2В2 Ç 12С2 = 32

Главные позиционные задачи - student2.ru

Опустив линию связи из точки 32, находим точку 31. Точка 3(32,31) позволит построить горизонтальную проекцию хорды 1С.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Проводим линию связи из точки 12 до пересечения с продленной прямой 31С1 Þ 11

Главные позиционные задачи - student2.ru

Плавной кривой соединим точки А1, 11, В1, получаем часть горизонтальной проекции кривой m.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Аналогично, строится точка 21.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Объединим все построения на одном чертеже, обозначим горизонтальную проекцию кривой m1.

Чем больше точек брать на кривой АВ, тем точнее построение (5-6 точек).

Задача №12

Определить взаимное положение отрезков прямых АВ и CD.

Главные позиционные задачи - student2.ru

На 3-х картинном чертеже Монжа размеры по оси y (размеры ширины) на П1 и П3 остаются неизменными.

Точка С3 в системе П2- П3 (на линии связи ^ оси Z), взята произвольно, т.к. чертеж безосный. Все остальные проекции точек А,В,D на П3 жестко связаны с точкой С3

(Модуль №1, стр.15).

Главные позиционные задачи - student2.ru

Построение точки D3

Главные позиционные задачи - student2.ru

Построение точки В3

Главные позиционные задачи - student2.ru

Построение точки А3

Главные позиционные задачи - student2.ru

Решение задачи 14 см. Модуль №1, стр. 31.

Решение задачи 15 см. Модуль №1, стр. 34

Модуль №2

Плоскость

Задача №17

В плоскости достроить недостающие проекции точки и прямой:

S(АВС) É l(l2); l = ?; D(D ) ; D = ?

В основе решения задачи лежит свойство принадлежности точки и прямой плоскости

(Модуль №2, стр.2).

l Ì S, значит проходит через две точки этой плоскости 1 и 2.

точка 1 Î АВ, 12 Î А2В2 Þ 11 Î А1В1

точка 2 Î АС, 22 Î А2С2 Þ 21 Î А1С1

Главные позиционные задачи - student2.ru

1. Построим горизонтальные проекции точек 1 и 2(с помощью линий связи) Þ 11 и 21

2. Через точки 1 и 2 проведем горизонтальную проекцию прямой – l.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Очень важно не перепутать принадлежность точек своим отрезкам.

Как построить точку D?

Заметим, что точка D находится за пределами треугольника, но, тем не менее, принадлежит плоскости S, т.к. любая плоскость безгранична в пространстве, треугольник - это только ее определитель, с помощью которого она задана.

Так с чего начать? Обычно студенты предлагают провести линию связи из точки D1. Действительно D1 и D2 находятся на одной линии связи, Хорошо, провели, а дальше?

Исходя из свойства принадлежности точки плоскости, через точку D(D1) нужно провести вспомогательную прямую в плоскости. Сколько таких прямых можно провести? Бесчисленное множество, выбрав наиболее рациональный вариант.

1 вариант

Главные позиционные задачи - student2.ru

2 вариант

Главные позиционные задачи - student2.ru

Первый вариант рациональнее, т.к. для вспомогательной прямой нужно строить меньше точек (достаточно построить точку 3, точка А уже есть).

Главные позиционные задачи - student2.ru

Задача №18

В плоскости достроить недостающие проекции линий:

Г(a || b), l(l2) Ì Г, l1 = ?, m(m1) Ì Г, m2 = ?

Принадлежность прямой плоскости, в случае, когда она проходит через две точки этой плоскости, была рассмотрена в задаче № 17. В этой задаче проиллюстрируем принадлежность прямой плоскости, если она проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

l1 = ? l || a || b

Где взять эту точку? На l2 можно взять любую точку и построить ее проекции на П1 по принадлежности к Г (рис. 18.1). Рациональнее взять точку 32 (рис. 18.3).

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 18-1

Через прямую 1-2 строим проекции точки 3

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 18-2

Теперь через точку 31 проводим l1 || а1 и в1

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 18-3

Как построить m2?

Следует отметить, что для построения кривой m2 нужно взять не менее четырех точек.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 18-4

Точки 4,6,8 строятся без дополнительных построений, с помощью линий связи.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 18-5

Для построения точки 5 и 7 проводят дополнительные прямые || а и в.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 18-6

Находим точки 52, 72.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 18-7

Все точки соединить плавной кривой Þ m2

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 18-8

Задача №20

Дана плоскость L(h Ç f), АВС Ì L, А1В1С1 = ?

Как построить А1В1С1, зная свойство принадлежности точки и прямой к плоскости? Треугольник АВС надо рассматривать, как фигуру, состоящую из вершин (точек А,В,С) и сторон (отрезков прямых), т.е. следует применить решение предыдущих задач №17 и №18.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 20-1

Сторона АВ || h, точка А принадлежит f.

A2 Î f2 Þ A1 Î f , A2B2 || h2 Þ A1B1 || h1 (Рис. 20-2)

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 20-2

Горизонтальная проекция АС строится по двум точкам: А и 1 = А2C2 Ç h2 Þ 11 Þ С1 (Рис. 20-3)

Главные позиционные задачи - student2.ru

Рис. 20-3

Задача №21

Задача решается аналогично, чтобы построить фронтальные проекции точек D,F,E, необходимо построить фронтальные проекци любых двух сторон треугольника (например DF и DE), исходя из свойства принадлежности прямой к плоскости. Для чего следует их продлить до пересечения с Ф, т.е. с m1 и n1.

Задача №22

Определить угол наклона плоскости S(g) к П1

А(А2) Î S. А1 = ? Ða = ?

Плоскость S задана g - линией ската, но т.к. положение g в плоскости определяется положением горизонтали этой плоскости, то значит можно однозначно утверждать,что данная плоскость задана двумя пересекающимися прямыми Þ S(g) = S(g Ç h) (Модуль №2, стр. 8)

Главные позиционные задачи - student2.ru

g ^ h Þ h2 ^ линиям связи, g1 ^ h1, h2 провести через А2, А1 находится по принадлежности

горизонтали

Но как определить угол a?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Угол a между g u g1 - есть угол наклона S Ù П1 = g Ù g

Главные позиционные задачи - student2.ru

g(g1,g2) - прямая общего положения

Для определения угла (a) необходима истинная величина линии ската, которую определим методом прямоугольного треугольника (задача №8)

Главные позиционные задачи - student2.ru

Угол между g и g1 = Ða.

Если бы не требовалось определить А1, то угол можно было бы определить и без построения горизонтали. Достаточно задаться любым отрезком на линии ската.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Задача №23

Определить угол наклона плоскости Ф(а || b) к П2. Ðb = ?

Как определить е - линию наибольшего наклона плоскости Ф к П2(е ^ f Þ е2 ^ f2)? Задача графически сложная, но легко решается, если ее разбить на три этапа (на три задачи), которые встречались на предыдущих страницах:

Главные позиционные задачи - student2.ru

1) Построить проекции фронтали f (f1 f2)

Главные позиционные задачи - student2.ru

Построить f(f1,f2): f1 ^ линиям связи (в любом месте f1 Ç а || в), f2 по принадлежности плоскости Ф

2) Построить проекции линии наибольшего наклона е(е1 е2)

Главные позиционные задачи - student2.ru

Построить е(е ^ f) Þ е2 ^ f2. Построить е2 можно бесконечное множество.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Выбираем наиболее рациональный вариант и достраиваем е(е1) Ì Ф (по двум точкам 1 и 3).

3) Определить натуральную величину | е| с помощью прямоугольного треугольника. Угол Ðb = между е – е2Ù П2 = е Ù е2)

Главные позиционные задачи - student2.ru

е(е1, е2) – прямая общего положения

Главные позиционные задачи - student2.ru

Главные позиционные задачи - student2.ru

Задача №24

Эта задача решается аналогично, только алгоритм нужно применить относительно П1.

Задача №25

Окружность k Ì Г(Г1), A Î k, O - центр окружности.

Построить: k1 =?, k2 = ?

Плоскость Г занимает горизонтально проецирующее положение. Г1 = главная проекция, обладающая собирательными свойствами, поэтому k1 - прямая линия совпадающая с Г1. Г имеет угол (a) наклона к П2, поэтому окружность спроецируется на П2 с искажением, в виде эллипса.

При этом, какое положение займут большая и малая оси эллипса?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Чтобы построить а2 и в2, нужно знать значение радиуса окружности (R), т.к. а1 = 2´R, в2 = 2´R.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Точка А принадлежит окружности, поэтому соединив точку А с О Þ R. На какой проекции можно замерить значение радиуса?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Нигде! Т.к. ОА - прямая общего положения.

Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину радиуса окружности Þ R

Главные позиционные задачи - student2.ru

а (1,2) - малая ось эллипса

в (3,4) - большая ось эллипса

Главные позиционные задачи - student2.ru

Эллипс - центрально симметричная замкнутая кривая, следовательно относительно точки О2 на кривой таких точек как А2 - четыре.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Теперь плавной кривой соединяем все 8 точек.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Плавной кривой соединить все точки

Задача №26

В заданных плоскостях через точку К провести проекции линий уровня

Г(АВС), К Î Г.

Горизонталь плоскости Г должна пройти через две точки плоскости, начинать построение с фронтальной проекции (задача №4)

Главные позиционные задачи - student2.ru

K2 Î h2 ^ линиям связи

h2 Ç A2B2 = 12

h2 Ç B2C2 = 22

Главные позиционные задачи - student2.ru

Через 1121 Þ h1, Построить К1 Î h

Построение фронтали f (f1 f2) начинают с горизонтальной проекции: через точку К1 проводят f1 ^ линиям связи.

Главные позиционные задачи - student2.ru

f1 Ç А1С1 = 31 Þ 32; через 32 и К2 Þ f2.

Задача №27

Y(Y2), К Î Y

Если построение горизонтали начинать с фронтальной проекции ^ линиям связи, как в предыдущей задаче, то h2 пересечет Y, т.е. не будет принадлежать Y. Как быть? Попробуйте мысленно вращать h || П1, пока она не совместится с Y2, это произойдет только тогда, когда горизонталь займет положение фронтально проецирующей прямой.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Y - фронтально проецирующая плоскость.

h ^ П2 Þ h2 - точка, h1 = линиями связи.

Главные позиционные задачи - student2.ru

f1 ^ линии связи, f2 = Y2

Задача №30

Через точку М провести прямую m(m1 m2) параллельную плоскостям S(АВС) и Г(Г1).

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Если плоскость занимает проецирующее положение (Г1), то проекция прямой параллельна ее главной проекции, т.е. Г1.

Алгоритм построения.

1. Проведем m1 || Г1 через точку М1, но прямая m || и DАВС, поэтому проведем прямую С111 || m1 в DА1В1С1.

2. На П2 построим С212 и параллельно этой прямой через точку М2 проведем m2: m2 || C212

Главные позиционные задачи - student2.ru

Задача №31

Достроить фронтальную проекцию плоскости Г(DEF), если Г(DEF) || Ф(АВС).

Как построить D2E2F2, зная положение о взаимно параллельных плоскостях (Модуль №2, стр.10)? Треугольник DEF надо рассматривать, как фигуру, состоящую из пересекающихся прямых (сторон), чтобы применить решение предыдущей задачи №30. Для определения точек E2 и F2 необходимо построить параллельно DАВС две стороны DDEF.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Построить DF(D2F2) || DАВС, для чего провести А111 || D1F1

Главные позиционные задачи - student2.ru

Построить DЕ(D2F2) || DАВС, для чего провести C121 || D­1E1

Главные позиционные задачи - student2.ru

Достроить фронтальную проекцию DDЕF

Главные позиционные задачи - student2.ru

Очень часто студенты путают построение треугольника, параллельного заданному, с построением треугольника, принадлежащего заданному.

DDЕF || DАВС

Главные позиционные задачи - student2.ru

DDЕF принадлежит Г(АВС)

Главные позиционные задачи - student2.ru

Поверхность

Задача №32

Построить три проекции призмы

S(АВС l), если S || П2, если m Ì S.

m2 = ? m3 = ?

Алгоритм построения.

Призма S(АВС,l) – фронтально проецирующая. Ребра l ^ П2 || П1, П3

1. Достроить проекции призмы на П1 и на П3.

Главные позиционные задачи - student2.ru

2. m Ì S -ломаная линия, состоит из двух прямых, которые обозначим тремя точками (1,2,3).

3. На П2 проекции призмы и линии m совпадают.

4. На П3 точки 13 и 23 будут видимыми, так как лежат в плоскости АА’ВВ’, расположенной ближе к наблюдателю.

5. Точка 33 расположена в плоскости ВВ’СС’ , которая на П3 закрыта плоскостями АА’ВВ’ и АА’СС’, следовательно, будет невидимой.

Главные позиционные задачи - student2.ru

6. Соединим три точки, с учетом видимости, получим профильную проекцию линии m.

Задача №23

Построить три проекции цилиндра вращения

Q(i,l), если Q || П1;

n Ì Q, n1 = ? n3 = ?

Алгоритм построения.

Цилиндр вращения Q - горизонтально проецирующий.Образующая l ^ П1 || П2 || П3.

Главные позиционные задачи - student2.ru

1. Построить проекции цилиндра на П1, П2, П3.

2. Кривая n Ì Q. Разделим фронтальную проекцию кривой на 5 произвольных точек. Точки 32 и 52 - особые, находятся на крайних образующих; 12, 22, 42 - промежуточные точки.

3. На П1 все точки совпадают с проекцией цилиндра вращения.

4. Находим проекции точек на П3. Точки 13, 23, 33 будут видимыми, а точки 43, 53 - невидимыми. Точки 33 и 53 не требуют дополнительных построений, т.к. они уже лежат на своих образующих.

Главные позиционные задачи - student2.ru

5. Соединив точки на П3 с учетом видимости, получим профильную проекцию кривой n3.

Задача №34

Построить проекции трехгранной призмы Ф(АВС, s), М Î Ф , М1 = ? Высота призмы 40 мм

Вспомним алгоритм конструирования поверхности: М2-15. Что задано на чертеже?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Проекции геометрической части определителя. Строим дискретный каркас, закон каркаса:

lÇABC, l || s

С какой проекции начнем конструировать линейчатую поверхность? Можно начать с любой, но, учитывая условие задачи (высота 40 мм), начнем построение с фронтальной проекции, проведя 3 образующие || s2.

Построить проекцию линии обреза на П2

Главные позиционные задачи - student2.ru

А2’В2’С2’ - фронтальная проекция линии обреза. С помощью линий связи построить ее горизонтальную проекцию – А1’В1’С1

Главные позиционные задачи - student2.ru

Для того, чтобы обвести проекции поверхности основной сплошной линией, необходимо определить видимость.

Точки 1 = 2(11 = 21) - горизонтально конкурирующие, точка 1 выше, чем точка 2.

Точки В’ = 4(В2’ = 42) - фронтально конкурирующие, точка В ближе к наблюдателю, чем точка 4.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Ребро В1В1’ частично видимо, т.к. поверхность (в данном случае призма) - это пустотелая геометрическая фигура., имеющая только боковую поверхность.

Главные позиционные задачи - student2.ru

На П2 точка М(М2)- видимая, Î АА’ВВ’. Через точку М(М2) провести образующую М5(М252). Точка М(М1) - невидимая.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Задача № 35

Построить проекции пирамидальной поверхности Г(1,2,3, S); А,В Î Г; А12=?

Вспомним алгоритм конструирования поверхности: М2-15. Что задано на чертеже?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Проекции геометрической части определителя. Строим дискретный каркас из трех образующих, закон каркаса: l Ç 1,2,3; S Î l

Соединить точки направляющей 1,2,3 с вершиной S, на обоих проекциях. Определить видимость проекций поверхности, точки 4=5(42 =52) - фронтально конкурирующие точки, точки 6=7(62=72) - горизонтально конкурирующие точки.

Главные позиционные задачи - student2.ru

Точка 7 выше, чем точка 6, точка 4 ближе к наблюдателю, чем точка 5.

Главные позиционные задачи - student2.ru

А Î Г, А1 = ?

Главные позиционные задачи - student2.ru

В Î Г, В2 = ?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Задача №36

Построить проекции пирамидальной поверхности общего вида Y(А,В,С,D,F,S), n Ì Y, n1 = ?

Задачу 36 решить самостоятельно, учитывая опыт решения предыдущих задач. Ломаную линию

n(n1) построить по принадлежности соответствующим граням, учитывая видимость проекций

поверхности.

Задача №37

Построить проекции конической поверхности общего вида Г(m,S), АÎ Г, ВÎ Г, А2 = ?, В1 =?

Коническая поверхность - кривая линейчатая (М2-21, 22), образующая l - прямая линия.

Что задано на чертеже?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Проекции геометрической части определителя. Строим дискретный каркас, закон каркаса:

l Ç m; l É S

Главные позиционные задачи - student2.ru

Провести конечное число образующих, начиная с очерковых.

Определить видимость проекций поверхности:

точки М=N(М1=N1) - горизонтально конкурирующие,

точки 4=7(42=72) - фронтально конкурирующие,

точка N выше, чем М,

точка 4 ближе к наблюдателю, чем точка 7

Главные позиционные задачи - student2.ru

А,В Î Г, В1 =? А1 =?

Главные позиционные задачи - student2.ru

Через точки А и В провести образующие.

Задача №38

Построить проекции цилиндрической поверхности S(m,s).

h =35 мм, K Î S, K2 =?, N Î S, N1 =?

Алгоритм построения.

На чертеже заданы проекции геометрической части определителя цилиндрической линейчатой поверхности.

Закон образования каркаса цилиндрической поверхности: l Ç m, l || s

1. Расстояние между верхним и нижним основаниями равно 35 мм.

2. Через центр направляющей m проведем осевые линии параллельно s на П1 и на П2 Þ О1’, О2

3. На направляющей m обозначим 4 точки с учетом видимости.

Главные позиционные задачи - student2.ru

4. На П2 проведем две очерковые образующие: 11’(1212’) и 22’(2222’) || s2 и построим фронтальную проекцию цилиндра.

Наши рекомендации