Метод введения новой плоскости проекций

Задача №100

Определить расстояние от точки до прямой.

Вы могли убедиться в графической сложности решения подобной задачи - № 92. Применение способов преобразования комплексного чертежа упрощает решение (М4 -23).

Такое положение оригинала относительно некоторой плоскости проекций, при котором по проекции можно непосредственно определить нужную метрическую характеристику, называется "решающим положением" оригинала.

Решающее положение для определения расстояния между точкой и прямой. Горизонтальная проекция n Þ n₁ есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали в системе П₁ - П₂.

Прямая а занимает общее положение, чтобы добиться решающего положения, нужно решить первую и вторую задачи преобразования комплексного чертежа.

Решение первой задачи преобразования к.ч.

1) Фиксируем систему П₁ –П₂ проводим ось Х₁₂

2) П₂ Þ П₄,

П₄ ^ П₁, П₄ || a Þ x₁₄ || a₄

а(а₄) - заняла положение прямой уровня в системе П₁ – П₄, при этом расстояние КМ будет перпендикулярно а (К₄М₄ ^ а₄) Þ n₄

Решение второй задачи преобразования к.ч., т.е. поставить прямую а в системе П₄ –П₅ в проецирующее положение.

П₁ Þ П₅

П₄ ^ П₅, П₅ ^ a Þ x₄₅ ^ a₄

Закончить решение задачи - это значит построить проекции точки К на П₁ и на П₂, т.е. сделать возврат от К₅ Þ К₄ Þ К₁ Þ К₂. Построить МК (прямая общего положения) в системе П₁ – П₂.

Задача №101

Определить расстояние между прямыми.

а || в - прямые общего положения.

Чтобы решить задачу, т.е. добиться решающего положения, нужно решить первую и вторую задачу преобразования комплексного чертежа. Подробности см. М4-23 (рис. 4 - 52, 53)

Решающее положение для прямых а и в в системе П₁ –П₂.

Задача №102

Определить расстояние между прямыми.

c,d - скрещивающиеся прямые, занимают общее положение.

Чтобы решить задачу, т.е. добиться решающего положения, нужно решить первую и вторую задачу преобразования комплексного чертежа, т.е. одну из прямых поставить в проецирующее положение.

Решающее положение для прямых с и d в системе П₁ – П₂, как в задаче №83

Решение первой задачи преобразования к.ч., чтобы прямая общего положения d заняла положение прямой уровня в системе П₁ – П₄.

П₂ Þ П₄

П₁ ^ П₄, П₄ || d Þ x₁₄ || d₁

Решение второй задачи преобразования к.ч., т.е. поставить прямую d в системе П -П в проецирующее положение.

П₁ Þ П₅,

П₄ ^ П₅, П₅ ^ d Þ x₄₅ ^ d₄

КМ (К₅М₅ ^ с₅) - натуральная величина расстояния между скрещивающимися прямыми с и d.

Возвращение точек К и М на П₁ и П₂.

К Ì d, М Ì с, М₄К₄ ^ d₄, т.к. d₄ - натуральная величина d, далее КМ строится по линиям связи.

Задача №103

Определить угол наклона плоскости S(а Ç в) к плоскости П₂

Такие задачи требуют сложного графического решения, например: задачи № 22, 23, 24. Применение способов преобразования к.ч. значительно упрощает решение. В данной задаче достаточно решить третью задачу преобразования к.ч., заменить П₁ Þ П₄, т.е. П₄ ^ П₂, Решающее положение: на П₄ плоскость S(S₄) вырождается в прямую, угол между х₂₄ ^Ù S₄ = искомый.

Решить самостоятельно.

Задача №104

Определить расстояние от т. М до плоскости (АВС)

Расстояние от точки до плоскости - есть перпендикуляр (МК ^ S). Чтобы добиться решающего положения, необходимо решить третью задачу преобразования к. ч. (М4-16), при этом отрезок МК займет положение прямой уровня.

Решающее положение.

Меняем П₂ на П₄, П₄ ^ П₁

П₄ ^ S; П₄ ^ h Þ x₁₄ ^ h

М₄К₄ ^ S₄, MK(M₄K₄) - натуральная величина расстояния от точки М до плоскости S(АВС).

Проводим n₁ ^ h₁, из точки К₄ проводим линию связи до пересечения с n₁ Þ К₁. К₂ находим через П₄(как показано на чертеже), можно через построение f(f₁,f₂) Ì АВС Þ n₂ ^ f₂.

Возвращение построения К, т.е. отрезка МК в систему П₁ Þ П₂: К₄ Þ К₁ Þ К₂.

Задача №105

Определить истинную величину двугранного угла.

Если две плоскости, например Ф Ç Г Þ АВ, поворачивать до тех пор, пока они не займут проецирующего положения относительно какой - либо плоскости проекций, то угол между ними спроецируется без искажения, для этого нужно решить первую и вторую задачи преобразования комплексного чертежа.

Решающее положение в системе П₁- П₂

В данной задаче, чтобы обе плоскости оказались одновременно в проецирующем положении, нужно в проецирующее положение поставить прямую АВ.

Решение первой задачи преобразования к.ч.,

чтобы прямая общего положения АВ заняла положение прямой уровня в системе П₁ – П₄.

1) Ось х₁₂ проведем через точку В₂

2) П₂ Þ П₄,

П₁ ^ П₄; П₄ || АВ Þ x₁₄ || A₁B₁

3) Точки С и D переносим на П₄ аналогично т. А.

Решение второй задачи преобразования к.ч.,т.е. поставить прямую АВ в системе П₄ – П₅ в проецирующее положение.

П₁ Þ П₅

П₄ ^ П₅; П₅ ^ AB Þ x₄₅ ^ AB

Угол j - истинная величина.

Задача №106

Построить все множество точек, равноудаленных от плоскости S(h Ç f) на 20 мм.

Множеством точек, равноудаленных от плоскости S, будут две плоскости параллельные заданной. Построим только одну плоскость Ф, т.к. другая будет строиться идентично, по другую сторону от S.

Решающее положение в системе П₁ –П₂.

П₂ Þ П₄,

П₁ ^ П₄; П₄ ^ h Þ x₁₄ ^ h₁

n₄ ^ S₄ = 20мм; S₄ || Ф₄

Для построения плоскости Ф на П₁ – П₂ достаточно построить:

n₁ ^ h₁; n₂ ^ f₂ и вернуть только одну точку 3 в систему П₁ – П₂

Задать Ф(h,f) || S Þ h₁’ || h₁, h₂’ || h₂, f₁’ || f₁, f₂’ || f₂

Задача №107

Построить все множество точек, равноудаленных от трех заданных точек.

Все множество точек, равноудаленных от трех заданных, является перпендикуляр, восстановленный в центре описанной, вокруг DАВС, окружности. Центр окружности будут находиться на пересечении проведенных через середины сторон треугольника DАВС перпендикуляров. Решающее положение - истинная величина фигуры DАВС, чтобы добиться такого положения, нужно решить третью и четвертую задачи преобразования к.ч.

Плоскость АВС - общего положения в системе П₁ – П₄ сделать проецирующей.

1) ось х₁₂ проведем через точку А₂

2) Меняем П₂ на П₄, П₄ ^ П₁

3) П₄ ^ ABC; П₄ ^ h Þ x₁₄ ^ h₁

В системе П₄ – П₅ плоскость АВС станет плоскостью уровня: А₅В₅С₅ - натуральная величина.

Меняем П₁ на П₅

П₅ ^ П₄; П₅ || ABC Þ x₄₅ || A₄B₄C₄

DА₅В₅С₅ - натуральная величина DАВС. Стороны DАВС Þ А₅С₅ и С₅В₅ разделить пополам (точки M₅, N₅), на пересечении перпендикуляров их этих точек (M₅, N₅) отметить центр окружности Þ О₅, О₅ = n₅ - проекция искомого перпендикуляра. Сначала построим проекцию перпендикуляра – n₄ на П₄ в точке О₄ Þ по линиям связи, n₄ ^ А₄В₄С₄, т.к. плоскость А₄В₄С₄ - проецирующая.

Задача №107

Возвращение перпендикуляра n в систему П₁ – П₂.

1 - способ:

Вернем точку О по линиям связи на П₁ и П₂ Þ О₁ Þ О₂

Х₁₄О₁ = Х₄₅О₅; Х₁₂О₂ = Х₁₄О₄.

Через точку О₁ проведем n₁ ^ h₁. Построим f (f₁,f₂) Ì АВС, проведем n₂ ^ f₂.

2 - способ:

На перпендикуляре n₄ взять произвольно точку К₄ и построить ее по аналогии с точкой О:

Х₁₄К₁ = Х₄₅К₅; Х₁₂К₂ = Х₁₄К₄.

3-способ:

Точку О в системе П₁ – П₂ можно построить и через свойство принадлежности точки прямой данной плоскости:

О₅ Î А₅1₅ Þ А₄1₄ Þ А₁1₁ Þ А₂1₂

С помощью конкурирующих точек определим видимость n₁ и n₂.

Задача №109

Построить проекции линии пересечения поверхности

конуса с плоскостью (АВС).

= в (плоская кривая) 2ГПЗ, 3 алгоритм, такая задача графически сложна; применяя

способы преобразования к.ч., упрощаем решение. Если плоскость (АВС) поставить в частное

положение, то можно перейти к решению данной задачи по 2 алгоритму.

Решающее положение в системе П₁ –П₂

Ось Х₁₂ проводим через основание конуса. Заменим П₂ Þ П₄, П₄ ^П₁

П₄ ^ ABC; П₄ ^ h Þ x₁₄ ^ h₁

D Ç S = в (плоская кривая) Þ 2ГПЗ, 2 алгоритм.

S₄ - для построения достаточно и двух точек, например, А₄ и В₄.

Способ решения: каждая точка строится сразу на П₁ и П₂.

Заменим П₂ Þ П₄, П₄ ^ П₁

П₄ ^ ABC; П₄ ^ h Þ x₁₄ ^ h₁

Способ решения. Кривая простраивается по точкам сначала на П₁ затем на П₂

Система координат П₄- П₁:

D Ç ABC = в (эллипс)

2 ГПЗ, 2 алгоритм

ABC ^^ П₄ Þ A₄B₄C₄ = в₄

Построить в₁ Ì D (см. М-27)

Заключительным этапом будет построение фронтальной проекции кривой в₂. Высоту каждой точки (аппликаты) берут на П₄ и переносят на П₂. Проекцию кривой в вычерчивают с учетом видимости.

Задача №110

Построить проекции линии пересечения поверхности тора с S(h Ç f).

Г Ç S = в (плоская кривая) Þ 2ГПЗ, 3 алгоритм: такая задача графически сложна. Применяя способы преобразования к.ч., упрощаем решение. Если плоскость S(h Ç f) поставить в частное положение, то можно перейти к решению данной задачи по 2 алгоритму.

Решающее положение в системе П₁ – П₂

1) Ось Х₁₂ проходит через основание тора.

2) Заменим П₂ Þ П₄, П₄ ^ П₁

3) П₄ ^ S, П₄ ^ h Þ x₁₄ ^ h₁

Дальше решение продолжить самостоятельно (см. задачу №109), при решении размеры не проставлять.