Теория потенциалов, определение, основные свойства
Пусть в точке расположен заряд величины
, тогда в любой точке
пространства будет создаваться поле, потенциал которого:
. Для системы зарядов, потенциал имеет вид:
.
![]() ![]() | Диполь: Пусть в точках ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Рассмотрим интеграл: ,
- интегрируема (непрерывна) везде, кроме
, если
. Рассмотрим его сходимость и непрерывность.
Определение: будем говорить, что это интеграл сходиться равномерно в окрестности точки , если для любого
существует такое
, (
), что для любой точки
, (
- окрестность т.
,
) выполняется :
.
Теорема: если сходится равномерно в окрестности точки
, то
существует и непрерывна в точке
.
Доказательство: разобьём на 2 функции:
, рассмотрим разность:
(она мала, если
и
близки).
Докажем более подробно. Поскольку сходится в окрестности
, то берём
и выбираем такое
, что
и
, тогда выполняется
и
. Так как
, то интеграл
не является не собственным, и
непрерывна в точке
. Значит, для того же
существует такое
, что
выполняется
. Пусть
, тогда
выполняется
,
и
, а следовательно и
.
Чтд.
Замечание: из равномерной сходимости следует сходимость интеграла.
При определении интеграла предполагалось, что промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция определена и непрерывна на этом промежутке. Такой интеграл называется собственным. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.
A) Объёмный потенциал
Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными в области с плотностью
, равен
и называется объёмным потенциалом.
Свойство 1. Объёмный потенциал определён и непрерывен всюду.
Если , то интеграл
не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция
, непрерывна в точке
, то непрерывен в этой точке и интеграл
.
Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки
. Для этого оценим интеграл:
, мы увеличили область, поместив всё в шар
, радиуса
. Перейдём в последнем интеграле к сферическим координатам и получим тогда:
, чтобы интеграл был меньше заданного
, достаточно взять
.
Свойство 2. Объёмный потенциал имеет всюду непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки .
Если , то интеграл
не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки
, имеет в точке
непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки
, то этим свойством обладает и интеграл
, причём производные вычисляются путём дифференцирования под знаком интеграла:
,
,
- (1), где
- координаты точки
.
Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость в окрестностях точки
интегралов от производных в правых частях формул. Тогда законно дифференцирование под знаком интеграла, причём для производных
,
и
справедливы формулы (1). Для определённости рассмотрим интеграл:
. Оценим его:
, т.к.
.
Далее, , достаточно взять
для того, чтобы выполнялось неравенство
.
Свойство 3. Объёмный потенциал является гармонической функцией вне области , в которой расположены заряды (массы). Это свойство следует из того, что для точек
интеграл
не является не собственным, и поэтому оператор Лапласа можно вносить под знак интеграла:
, т.к. для точек
(а точнее P≠Q) имеем
.
Свойство 4. в точках области объёмный потенциал удовлетворяет соотношению:
, т.к.
,
.
Вторые производные рвутся.
Свойство 5. При стремлении точки наблюдения к бесконечности объёмный потенциал стремится к нулю ( - огр.).
Применим теорему о среднем: , где
- суммарный заряд. Т.о.
.