Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.

Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.

Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , и начнем ее вращать, т. е. менять угол Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru ; при этом будет изменяться величина

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , при котором производная Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru обращается в нуль. Эта производная равна:

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Подставляя в написанное выражение Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru и приравнивая его нулю, получаем:

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

отсюда

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т, е. если

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru то Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Следовательно, главные центральные оси инерции — это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.

Лекция № 19. Прямой чистый изгиб стержня

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент Мх (рис. 1). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Mх по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru .

Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru .

Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.2. Модель чистого изгиба

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , выведем формулы для кривизны нейтрального слоя Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru ( Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru —радиус кривизны) и нормальных напряжений Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (Mх=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а), нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.

Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

а) расчетная схема, б) деформации и напряжения

Рис.3. Фрагмент чистого изгиба бруса

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б. Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru .

Из подобия треугольников С001 и 01ВВ1 следует, что

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru .

Продольная деформация Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru (1)

Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гука будет равно

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru (2)

Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru (3)

Подставляя в это уравнение выражение (2)

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

и учитывая, что Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , получаем, что

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

и учитывая, что Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru где Jx—главный центральный момент инерции относительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулу

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru (4)

Кривизна нейтрального слоя Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru является мерой деформации стержня при прямом чистом изгибе. Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru тем меньше, чем больше величина EJх, называемая жесткостью поперечного сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного сечения при растяжении EF).

Подставляя (4) в (2), получаем формулу для нормальных напряжений в виде

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru (5)

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.4. Распределение нормальных напряжений

которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента Мх и нормальных напряжений Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при Mх>0 нормальные напряжения Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru при y>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Здесь введена геометрическая характеристика Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , имеющая размерность м3 и получившая название момента сопротивления при изгибе. Поскольку при заданном Mх напряжения max ? тем меньше, чем больше Wx, момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения изгибе. Приведем примеры вычисления моментов сопротивления для простейших форм поперечных сечений. Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 5, а) имеем Jх=bh3/12,ymax = h/2 и Wx = Jx/ymax = bh2/6. Аналогично для круга (рис. 5,a Jx= Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru d4/64, ymax=d/2) получаем Wx= Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru d3/32, для кругового кольцевого сечения (рис. 5, в), у которого

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

получаем

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Итак, максимальные нормальные напряжения в сечении с изгибающим моментом Mх определяются по формуле

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru (6)

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.5. Конфигурации поперечных сечений бруса

Этой формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

где max Mх—максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре), Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru — допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru ).

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.6. Модель изгиба хрупкого материала

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие max Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru и наибольшие сжимающие Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru напряжения (рис. 6.), которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru и сжатие Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru . Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru .

Лекция № 20. Прямой поперечный изгиб стержня

При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня возникает изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy рис. 1), которые связаны с нормальными Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru и касательными Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru напряжениями

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.1. Связь усилий и напряжений

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

а) сосредоточенная сила, б) распределенная
Рис.2. Модели прямого поперечного изгиба:

Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для прямого поперечного изгиба, вообще говоря, неприменима, поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными напряжениями Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , происходит депланация поперечных сечении (отклонение от закона плоских сечений). Однако для балок с высотой сечения h<l/4 (рис. 2) погрешность невелика и ее применяют для определения нормальных напряжений поперечного изгиба как приближенную. При выводе условия прочности при чистом изгибе использовалась гипотеза об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон. При поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой гипотезы:

а) в местах приложения сосредоточенных сил. Под сосредоточенной силой напряжения поперечного взаимодействия могут быть достаточно велики и во много раз превышать продольные напряжения Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , убывая при этом, в соответствии с принципом Сен-Венана, по мере удаления от точки приложения силы;

б) в местах приложения распределенных нагрузок. Так, в случае, приведенном на рис. 2, б, напряжения от давления на верхние волокна балки Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru . Сравнивая их с продольными напряжениями Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , имеющими порядок

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru ,

приходим к выводу, что напряжения Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru при условии, что h2 <<l2, так как Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru .

Получим формулу для касательных напряжений Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru . Примем, методика расчета нормальных напряжений известна, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения (рис. 3). Эта предпосылка выполняется тем точнее, чем уже поперечное сечение стержня. Точное решение задачи для прямоугольного поперечного сечения показывает, что отклонение от равномерного распределения Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , зависит от отношения сторон b/h. При (b/h) =1,0 оно составляет 12,6%, при (b/h) =0,5 — только 3,3%.

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.3. Расчетная модель поперечного прямого изгиба

Непосредственное определение напряжений Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru затруднительно, поэтому находим равные им (вследствие закона парности) касательные напряжения Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , возникающие на продольной площадке с координатой у элемента длиной dz, вырезанного из балки, (рис. 3). Сам элемент показан на рис. 4. От этого элемента продольным сечением, отстоящим от нейтрального слоя на у, отсекаем верхнюю часть, заменяя действие отброшенной нижней части касательными напряжениями Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru (индекс гу в дальнейшем опускаем), равнодействующая которых Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru показана на рис. 5. Здесь, согласно второй предпосылке

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.4. Расчетный элемент бруса

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.5. Фрагмент расчетного элемента бруса

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru по ширине элемента b. Нормальные напряжения Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru и Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , действующие на торцевых площадках элемента, также заменим их равнодействующими

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru ,

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru .

Согласно первой предпосылке нормальные напряжения определяются уже известным способом, Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , где Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru —статический момент отсеченной части площади поперечного сечения Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru относительно осиОх.

Рассмотрим условие равновесия элемента (рис. 5) составив для него уравнение статики Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru :

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

откуда после несложных преобразований, учитывая, что

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

получаем формулу для касательных напряжений при нормальном поперечном изгибе призматического стержня которая называется формулой Журавского.

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.6. Распределение касательных напряжений по контуру прямоугольного сечения

В этой формуле by — ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения, а статический момент, подставляемый в эту формулу, может быть вычислен как для верхней, так и для нижней части (статические моменты этих частей сечения относительно его центральной оси Ох отличаются только знаком, так как статическим момент всего сечения равен нулю).

В качестве примера применения формулы Журавского построим эпюру касательных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.). Учитывая, что для этого сечения

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

получаем

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

где F=bh—площадь прямоугольника.

Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратичеокой параболы, достигая максимума на нейтральной оси

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от простых видов деформации, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy (рис. 7), напряженное состояние является упрощенным плоским, при котором в окрестности произвольно выбранных точек поперечного сечения действуют нормальные Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru и касательные Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек должно быть сформулировано на основе какого-либо уже известного критерия прочности.

Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (рис. 7), а наибольшие касательные напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.7 Распределение нормальных и касательных напряжений по контуру сечения

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Рис.8. К сравнительной оценке модулей напряжения

Покажем, что доминирующая роль в расчетах на прочность балки, подвергнутой поперечному изгибу, будет принадлежать расчету по нормальным напряжениям. Для этого оценим порядок max Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru и max Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru на примере консольной балки, показанной на рис. 8:

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

так как

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Тогда

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

откуда max Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru <<max Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru , а поскольку Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru то доминирующим в этом случае будет расчет по нормальным напряжениям и условие прочности, например, для балки из пластичного материала, работающей на прямой изгиб, как и в случае чистого изгиба будет иметь вид:

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции. - student2.ru

Наши рекомендации