Теплопроводность плоского тела

СТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ

Однослойное плоское тело. Начнем рассмотрение задачи о распределении температуры в теле (среде) при стационарном режиме с аналитического метода.

Условимся под однослойным плоским телом понимать всякое тело, имеющее ограниченные размеры по высоте (тело, имеющее толщину) и неограниченные размеры по двум другим направлениям (в плане). Такое тело носит название пластины. В наших задачах в качестве однослойного плоского тела могут быть приняты ледяной или снежный покров, слой почвогрунта или воды, стенки гражданских и промышленных сооружений.

Рассмотрим плоское тело толщиной δ, направление которой совпадает с осью z декартовой системы координат, и неограниченного протяжения по направлению двух других осей х и у.

Пусть на поверхностях тела поддерживается постоянной температура t₁ и t₂ (стационарная задача).

При стационарном тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной. Поэтому в дифференциальном уравнении теплопроводности без источников и стоков теплоты (3.52), позволяющем определить температуру в зависимости от времени и координат в любой точке поля, производная ∂t/∂τ=0. В связи с этим обстоятельством, а также ввиду того, что рассматривается одномерная задача, температура изучаемого тела будет функцией только одной координаты. Поэтому уравнение (3.52) запишется в виде уравнения (3.61):

d²t/dz² = 0. (4.1)

Интегрирование этого уравнения приводит к следующим решениям:

dt/dz = C₁; dt = C₁ dz, (4.2)

t = C₁z + C₂, (4.3)

где C₁ и C₂ — постоянные интегрирования, которые могут быть определены при граничных условиях первого рода, названных выше, т. е.:

1) при z = 0 t = t₁,

2) при z = δ t = t₂. (4.4)

Из уравнения (4.3) видно, что распределение температуры по координате z подчиняется закону прямой. Если это распределение изучается в ледяном покрове, то t₁ < t₂. Тепловой поток в этом случае направлен снизу вверх.

Подставив первое граничное условие из системы (4.4) в уравнение (4.3), получим

C₂ = t₁, (4.5)

а, подставив второе, с учетом равенства (4.5)

t₂ = C₁δ + t₁, (4.6)

откуда

C₁ = (t₂ - t₁)/ δ. (4.7)

С учетом постоянных интегрирования C₁ и C₂ уравнение (4.3), представляющее собою прямую, примет вид

t = t₁ + z (t₂ - t₁)/ δ. (4.8)

Уравнение (4.8) определяет распределение температуры по толщине однослойного плоского тела.

При втором граничном условии (4.4) уравнение (4.8) можно представить в виде равенства

(t₂ - t₁)/ δ = (t₂ - t₁)/ δ, (4.9)

из которого, заменив левую часть по закону Фурье (3.9), получим

q/λ = - (t₂ - t₁)/ δ = (t₂ - t₁)/ δ (4.10)

или удельный расход теплоты через однослойное плоское тело

q = λ (t₁ - t₂)/ δ. (4.11)

Многослойное плоское тело. Рассмотрим теперь плоское тело, состоящее из n слоев толщиной δ₁, δ₂, ..., δ_n и с коэффициентами теплопроводности λ₁, λ₂, ..., λ_n. Слои тела плотно прижаты друг к другу. Прообразом такого многослойного плоского тела (многослойной стенки или толщи) может выступать, например, снежно-ледяной покров (рис.4.1.). При граничных условиях первого рода должна быть задана температура на поверхностях многослойного тела: на поверхности снега — t₁ и на нижней поверхности льда — t_n+1. Задачей в этом случае является установление температуры на границах каждого слоя и расхода теплоты через всю многослойную толщу. При трехслойной толще, как в нашем примере, должна быть задана температура t₁ и t₄, а отыскивается t₂ и t₃.

Рис. 4.1. Теплопроводность многослойной толщи при граничных условиях первого рода [8]

Если в слоях толщи нет источников и стоков теплоты, то, по закону сохранения энергии, теплота, вошедшая в первый слой, должна пройти все слои толщи без ее увеличения и потерь.

Для решения поставленной задачи нет необходимости возвращаться к общему уравнению теплопроводности при стационарном режиме (4.1). Для этого достаточно воспользоваться решением (4.11). Согласно уравнению (4.11), для каждого слоя толщи, состоящей из n слоев, можно записать:

q = (λ₁/δ₁) (t₁ - t₂),

q = (λ₂/δ₂) (t₂ - t₃),

…………………….

q = (λ_n/δ_n) (t_n - t_n+1). (4.12)

Перепишем систему уравнений (4.12) относительно разности значений температуры в каждом слое:

t₁ - t₂ = q δ₁/λ₁,

t₂ - t₃ = q δ₂/λ₂,

……………..

t_n - t_n+1 = q δ_n/λ_n. (4.13)

Складывая почленно левые и правые части системы (4.13) получаем

t₁ - t_n+1 = q (δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ + … + δ_n/λ_n). (4.14)

Из этой формулы определим выражение для удельного теплового потока многослойного плоского тела:

q = (t₁ - t_n+1)/(δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ + … + δ_n/λ_n). (4.15)

Это выражение было получено нами ранее при рассмотрении коэффициента теплопередачи в виде

(4.16)

где i — номер слоя.

Решая уравнение (4.14) относительно температуры t_n+1, получаем

t_n+1 = t₁ - q (δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ + … + δ_n/λ_n). (4.17)

Внутри слоя температуру необходимо считать по формуле (4.8).

Используя выражение (4.17), можно найти температуру на границе между интересующими нас слоями толщи. В данном случае под индексом n необходимо подразумевать номер i-го слоя толщи, для внутренней границы которой отыскивается температура. Например, температура на границе между первым и вторым слоями толщи

t₂ = t₁ - q (δ₁/λ₁), (4.18)

а между вторым и третьим

t₃ = t₁ - q (δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂). (4.19)

Здесь в первом случае n + 1 = 2, а во втором случае n + 1 = 3

Удельный тепловой поток q определяется по выражению (4.15) при заданных граничных условиях первого рода.

Ход температуры внутри многослойной плоской толщи представляет собой ломаную линию. Внутри каждого слоя температура изменяется по прямой, согласно уравнению

t_{i, z} = t_i - q(z_i/λ_i), (4.20)

где z_i — расстояние внутри рассматриваемого i-го слоя от поверхности предыдущего слоя, температура на границе между которыми равна t_i.