Неявная функция одной переменной
Функция называется неявной, если она определена уравнением , неразрешенным относительно .
Это значит, что при каждом значении , при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение
так, что
.
Теорема 2.2.3. Если –дифференцируемая функция переменных
и
в некоторой области
и
, то уравнение
определяет однозначно неявную функцию
, также дифференцируемую, и ее производная находится по формуле
![]() | (11) |
В частности,
.
Пример 2.2.4. Уравнение с двумя переменными имеет решение
. Определяет ли это уравнение неявную функцию
в окрестности точки
и если да, то найти
и
.
Обозначим . Имеем
,
,
,
,
. Условие
обеспечивает существование неявной функции
, дифференцируемой в некоторой окрестности точки
и согласно (10) имеем
.
В частности, .
Производную можно еще найти также следующим способом. Перепишем данное уравнение с учетом того, что
есть функция от
:
.
Тогда полная производная левой части этого равенства также равна нулю, т.е.
.
Отсюда
.
Неявная функция нескольких переменных
Функция называется неявной функцией переменных
и
, если она определяется уравнением
, неразрешенным относительно
.
Теорема 2.2.4. Если дифференцируема по переменным
,
и
в некоторой области
и
, то уравнение
определяет однозначно неявную функцию
, также дифференцируемую, и ее частные производные находятся по формуле
![]() | (12) |
Пример 2.2.5. Найти и
для неявной функции
, определенной уравнением
.
Способ 1, основанный на формулах (12). Найдем частные производные функции F:
,
,
.
Значит,
,
,
.
Способ 2 заключается в том, что если уравнение определяет неявную функцию , то имеем следующее тождество
,
,
.
Из первого тождества
,
из второго
.
Упражнения к §2.2.
1) Найти , если
:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2) Для данных найти
и
:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3) Найти и
для неявной функции
, определяемой уравнением:
a)
b)
c)
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§3.1. Производная по направлению. Градиент.
Случай двух переменных
Определение. Пусть – дифференцируемая функция в некоторой области
,
. Пусть
– некоторое направление (вектор с началом в точке
), а
– орт этого направления. Пусть
– точка в направлении
от
. Обозначим
. Тогда
,
. Предел отношения
называется производной функции по направлению
.
Выражая этот предел через и
, получаем
![]() | (13) |
Теорема 3.1.1. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности , равна нулю.
Случай нескольких переменных
По аналогии можно определить производную по направлению для функции трех переменных . Окончательная формула такова:
![]() | (14) |
где – орт направления
или
– направляющие косинусы направления
.
Теорема 3.1.2. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности , равна нулю.
Градиент