Модель функционирования З П С, оснащённой «n» однородными факторами воздействия на поставки товаров и услуг из другого региона

Вывод основных ДУ

Полагаем, что время обслуживания З П С величина случайная и подчинена показательному закону распределения с параметром ν. Поэтому вероятность того, что время обслуживания поставки не превосходит t определяется выражением

Р(t) = 1 - е

Вероятность противоположного события равна g(t) = е может находиться в следующих состояниях:

А - все факторы ЗПС не проявляют себя.

А - k – факторов себя проявляют себя, а остальные свободны от облуживания.

А - все факторы ЗПС проявили себя и обслуживают поставки.

Составим дифференциальные уравнения этих состояний ЗПС.

Обозначим через Δt очень маленький промежуток времени. Составим ДУ для состояния А . Оно возможно в следующих несовместных случаях:

- в момент времени t все факторы З П С себя не проявляют. За время Δt в области действия З П С не проявилась не одна поставка. Вероятность этого события равна

Р (t)е (1)

- в момент времени t один из факторов себя уже проявляет. За время Δt в области действия З П С не проявилась ни одна поставка, а действующий фактор прекратил своё действие. Вероятность этого события равна

Р (t) (1 - е ) е (2)

Где Р (t) –вероятность того, что один фактор себя проявил воздействием на поставку.

Так как рассмотренные события несовместны, то составим уравнение состояния А

Р (t+ Δt) = Р (t) е + Р (t) (1 - е )е е (3)

Где Р (t+ Δt) - вероятность того, что во время (t + Δt) ни один из факторов

не будет воздействовать на поставки;

Р (t) - вероятность нахождения З П С в состоянии А ;

е - вероятность непоявления за Δt в области действия З П С ни

одной поставки;

(1 - е ) - вероятность того, что за время Δt в области действия З П С

один из факторов прекратит свое воздействие на поставки.

Величину е можно разложить в ряд Тейлора и представить в следующем виде

е ≈ 1 - λ Δt + …,

а

1 - е ≈ νΔt + …,

Учитывая малость величины Δt. Можно уравнение (3) представить в виде, пренебрегая величинами более высокого порядка малости,

′ Р (t+ Δt) = Р (t) (1 - λ Δt) + Р (t) νΔt (1 - λ Δt). (4)

Преобразуем и разделим обе части уравнения (4) на Δt получим следующее соотношение

Р (t+ Δt) - Р (t) = - Р (t) λ Δt + Р (t) νΔt - Р (t)∙νΔt∙ λΔt). (5)

Так как в соотношении Р (t)∙νΔt∙ λΔt Δt∙Δt = Δt , то можно допустить, что Δt ≈0, то и само соотношение Р (t)∙νΔt∙ λΔt ≈ 0. Тогда справедливо соотношение

Р (t+ Δt) - Р (t) = - Р (t) λ Δt + Р (t) νΔt. (6)

Разделим обе части уравнения (6) на Δt получим следующее соотношение

= - Р (t) λ + Р (t) ν.

и, перейдя к пределу Δt → 0, получим

( ) = Р (t) = - Р (t) λ + Р (t) ν. (7)

Составим ДУ для состояния А . Оно возможно в следующих трёх несовместных случаях:

- в момент времени t «k» факторов З П С занято обслуживанием поставок. За время Δt в область действия З П С не проявилась ни одна поставка и ни один из занятых факторов не освободился. Вероятность этого события равна

Р (t) (1 - λ Δt)(1 – kνΔt); (8)

- в момент времени t З П С находилась в состоянии А . За время Δt в области действия З П С проявилась одна поставка, но ни один из действующий факторов не прекратил обслуживание своей поставки. Вероятность этого события равна

Р (t) λ Δt (1 – kνΔt); (9)

- в момент времени t З П С находилась в состоянии А . За время Δt в освободился один факторов З П С и в области действия З П С не проявилась ни одна поставка. Вероятность этого события равна

Р (t) (1 - λ Δt)(1 + k) νΔt. (10)

Тогда

Р (t+Δt)=Р (t)(1-λΔt)(1–kνΔt)+ Р (t)(1– kνΔt)λ Δt+Р (t)(1-λΔt)(1+k)νΔt. (11)

После аналогичных преобразований получаем

Р (t) = - (λ+kν)Р (t) + λ Р (t)+ Р (t) (k+1)ν. (12)

Это уравнение справедливо для случая 0≤ k≤ n.

Рассмотрим состояние А .

- в момент времени t З П С находилась в состоянии А . За время Δt ни один из занятых факторов не освободился. Вероятность этого события равна

Р (t) (1 – nνΔt); (13)

После соответствующих преобразований и перехода к пределу при Δt → 0, получим

Р (t) = - nνР (t) + λ Р (t). (14)

В итоге мы получили систему дифференциальных уравнений, которая описывает вероятности переходов состояний З П С, оснащённой n однородными факторами воздействия на поставки товаров и услуг из другого региона.

Р (t) = - Р (t) λ + Р (t) ν.

…………………………………….

Р (t) = - (λ+kν)Р (t) + λ Р (t)+ Р (t) (k+1)ν. (15)

………………………………………

Р (t) = - nνР (t) + λ Р (t).

Совокупность этих уравнений получила название системы уравнений Эрланга.