Классы интегрируемых функций 6 страница

Доказательство. Любая интегральная сумма будет неотрицательной, значит и предел этих сумм неотрицателен.

Теорема 2.3.Если на отрезке и обе функции интегрируемы, то

.

Очевидное следствие из предыдущего утверждения.(Применить предыдущую теорему к )

Теорема 2.4. Множество интегрируемых на отрезке функций образует линейное пространство.

Достаточно сравнить интегральные суммы.

Теорема 2.5. .

Очевидно из определения интегральной суммы.

Теорема 2.6.Если , то

Доказательство – из свойств модуля и интегральных сумм

С точки зрения Теорем 2.5,2.6, естественно положить по определению

,

если на некотором отрезке функция интегрируема.

Суммы Дарбу.

Будем для удобства считать, что .

Определение 2.2.Пусть есть некоторое разбиение отрезка . Пусть ; положим

.

Эти суммы называются нижней и верхней суммами Дарбу. В наших предположениях, всегда . Суммы Дарбу зависят только от разбиения отрезка и не зависят от выбора точек .

Теорема 2.7.При добавлении к данному разбиению одной точки нижняя сумма может только увеличиться, верхняя – только уменьшиться.

Доказательство. Пусть - новая точка разбиения, и пусть она лежит на отрезке разбиения . Ни на одном из вновь образовавшихся отрезков нижняя грань функции не может стать меньше, а верхняя – не может стать больше, чем на исходном отрезке. Теорема доказана.

Теорема 2.8. Для любых двух разбиений нижняя сумма первого (второго) не может превосходить верхнюю сумму второго(первого).

Доказательство. Рассмотрим третье разбиение, которое получается, если объединить точки первого и второго разбиений. Нижняя сумма для третьего будет не меньше, чем для первого, верхняя для третьего будет не меньше, чем нижняя для третьего и не больше, чем верхняя для второго, согласно предыдущей теореме. Теорема доказана.

Теорема 2.9.Существуют

.

Доказательство. По предыдущей теореме, множество нижних сумм ограничено сверху, а множество верхних сумм – снизу. Значит, у этих множеств есть, соответственно, верхняя и нижняя грани. Взятие пределов предполагает добавление точек разбиения, при котором нижние суммы не убывают, верхние не возрастают. Значит, предел нижних сумм будет существовать и совпадать с верхней гранью, а для верхних сумм – совпадать с нижней гранью. Неравенство из условия теоремы получится, если перейти к пределу в неравенстве . Теорема доказана.

Теорема 2.10. (Критерий интегрируемости) Для того, чтобы функция была интегрируема на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Достаточность. Если условие теоремы выполнено, то .Для любого , и для любого выбора точек имеет место неравенство . Следовательно, предел интегральных сумм существует и равен .

Необходимость. Если интеграл существует, то , такое , что для всех интегральных сумм с мелкостью меньше будет выполняться система неравенств .Перейдём сначала в левом неравенстве к верхней грани, потом в правом – к нижней. Получим ; то есть, разница . Поскольку произвольно, теорема доказана.

Определение 2.3. называется колебанием функции на отрезке .

Критерий интегрируемости функции на отрезке эквивалентен требованию

.

Классы интегрируемых функций

3.1.Функция Дирихле не интегрируема.

Действительно, на отрезке при верхняя сумма Дарбу всегда будет равна , а нижняя – 0.

3.2.Если .

Доказательство. Если , то для будет либо

, либо неравенства будут в обратную сторону. В любом случае,

будет не меньше, чем аналогичная разность для модуля функции. Следовательно, разность верхней и нижней сумм для модуля функции не будет превосходить аналогичную разность для самой функции. Если , то то же самое будет верно и для модуля функции. Утверждение доказано.

3.3.Первая (простая) теорема о среднем. Если , то , где .

Доказательство. Очевидно, . Проинтегрируем

. Теорема доказана. ( ).

Следствие 3.3.1. Если

3.4.Теорема 3.4.1. Если , то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. По теореме Кантора, равномерно непрерывна на .

По выберем так, чтобы при .Тогда получим

.

Теорема 3.4.2.Если ограниченная функция определена и монотонная на отрезке, она

на нём интегрируема.

Доказательство. Пусть, для определенности, функция на монотонно возрастает. По выберем . Тогда .

Теорема доказана.

Теорема 3.4.3. Ограниченная на отрезке функция, имеющая на нём конечное число точек разрыва, интегрируема.

Докажем эту теорему для случая, когда точка разрыва одна. Общий случай доказывается аналогично. Пусть .При любом разбиении отрезка, точка разрыва будет принадлежать не более, чем двум отрезкам разбиения. Если мелкость разбиения равна , вклад этих максимум двух отрезков разбиения в разность сумм Дарбу будет не более . На оставшейся части отрезка функция интегрируема, и по можно выбрать такое , что разность сумм Дарбу там будет меньше .Пусть и . Разность сумм Дарбу на всём отрезке будет меньше . Теорема доказана.

Теорема 3.4.4.Если функция , интегрируема, то будет интегрируемой и функция, полученная из произвольным изменением её значений в конечном числе точек.

Доказательство. Аналогично предыдущему доказательству, разница в значении сумм Дарбу для новой функции сколь угодно мало отличается от значений сумм Дарбу для исходной функции.

Обе эти теоремы могут быть получены как тривиальное следствие следующей теоремы Лебега об интегрируемости функций по Риману.

Определение 3.1.Множество точек числовой оси называется множеством меры 0, если его можно накрыть системой окрестностей общая длина которых может быть сделана меньше любого (т.е., для любого .найдётся система окрестностей, накрывающая все точки множества, с общей суммой длин меньшей .

Примеры.1.Любое конечное множество точек имеет меру 0.

2. Любое счётное множество имеет меру 0.

3. Существуют несчётные множества, имеющие меру 0.

Теорема 3.4.5.Для того, чтобы функция была интегрируема по Риману на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы мера множества точек разрыва этой функции была равна 0.

Доказывается она примерно так же, как две предыдущих.

Теорема 3.4.6. Пусть функция интегрируема на наибольшем из отрезков

. Тогда она интегрируема на двух остальных отрезках, и

.

Если интегрируема на , то она интегрируема и на .

Доказательство. Для простоты докажем всё для случая .

Если , то , если рассматривать разбиения отрезка , содержащие точку .Поскольку предположено, что , левая часть будет произвольно мала при , значит и правая – тоже. Для отрезка - аналогично. Если , то любую интегральную сумму для можно, добавив, может быть, точку к точкам разбиения, представить в виде суммы интегральных сумм для . Произвольная интегральная сумма будет отличаться от получившейся сколь угодно мало. Следовательно, .

Из последнего замечания вытекает и нужное равенство. Теорема доказана.

Теорема 3.4.7. Если , то .

Доказательство. Пусть на отрезке . Имеем

Если мы возьмём какое-нибудь разбиение отрезка , это неравенство будет выполняться для любых из любого отрезка разбиения . Пусть соответственно, - колебания функций на . Имеем

. Умножая на и суммируя, получим

; последние две суммы стремятся к нулю при измельчении отрезка в силу интегрируемости функций .

Теорема доказана.