Достаточное условие. Первый признак

Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются стационарными ; а точки, где производная не существует называются критическими.

Итак, если точка х₀ есть стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной, то точка х₀ представляется, так сказать лишь “подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования экстремума, которые мы сейчас установим.

Предположим, что в некоторой окрестности (х- ,х+ ) точки х₀ (по крайней мере, для х=х₀) существует конечная производная и как слева от х₀ , так и справа от х₀ (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

I f’(x)>0 при х<х₀ и f’(x)<0 при х>х₀, т. е. производная f’(x) при переходе через точку х₀ меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х₀- ,х₀] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х₀,х₀+ ] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х₀- ,х₀+ ] , т. е. в точке х₀ функция имеет собственный максимум.

II f’(x)<0 при х<х₀ и f’(x)>0 при х>х₀ , т. е. производная f’(x) при переходе через точку х₀ меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х₀ функция имеет собственный минимум.

III f’(x)>0 как при х<х₀ так и при х>х₀ либо же f’(x) и слева и справа от х₀ , т. е. при переходе через х₀ , не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х₀ с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<f(x₀), а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x₀) так что в точке х₀ никакого экстремума нет.

Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х₀ : подставляя в производную f’(x) сначала х<х₀ , а затем х>х₀, устанавливаем знак производной вблизи от точки х₀ слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а,b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:

a<х₁<х₂<… <х_k<х_k+1<… <х_n<b (3.1)

именно ,тогда прежде всего, в любом промежутке (а,х₁), (х₁,х₂), … ,(х_k,х_k+1), … ,(х_n,b) существует конечная производная f’(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f’(x) сохраняет постоянный знак.Действинельно, если бы f’(x) меняла знак, например, в промежутке (х_k,х_k+1) , то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между х_k и х_k+1, что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3.1).

Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f’(x) во всем промежутке (х_k,х_k+1) определяется , если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.

3.2.2.Достаточное условие. Второй признак.

Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1:Если х₀ есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)<0, то в точке х₀ функция иммет максимум,а если f’’(x)>0 , то функция имеет в точке х₀ минимум.

Доказательство: По определению второй производной

(f’(x)-f’(x₀)

f’’(x₀)=lim-------------

x-x₀

По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому

f’(x)

f’’=lim----------

x-x₀

Допустим , что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x₀-,x₀+), в котором переменная величина f’(x)/(x-x₀) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство

f’(x)

----------<0 (x₀- <x<x₀+ )

x-x₀

Отсюда следует,что f’(x)>0 , если х-х₀<0, или х>х₀, и f’(x)<0, если х-х₀>0, или х>х₀. На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х₀ функция f(x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает минимум функции f(x).

ч.т.д.

Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):

1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим стационарные точки функции f(x).

2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х₀ подвергаем испытанию:

 если f’’(x)>0, то х₀ – точка минимума функции;

 если f’’(x)<0, то х₀ – точка максимума функции.

Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.

Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке

- Выпуклость и вогнутость. Достаточное условие выпуклости.

свойство графика функции у = f (x) (кривой), заключающееся в том, что каждая дуга кривой лежит не выше (не ниже) своей хорды; в первом случае график функции f (x) обращён выпуклостью книзу (вогнутостью кверху) и сама функция называется выпуклой (рис. 1, а), во втором — график обращён вогнутостью книзу (выпуклостью кверху) и функция называется вогнутой (рис. 1, б). Если существуют производные f '(x) и f "(х), то первый случай имеет место при условии, что f "(x) ≥ 0, а второй при f "(x) ≤ 0 (во всех точках рассматриваемого промежутка). Выпуклость (книзу) можно охарактеризовать также тем, что дуга кривой лежит не ниже касательной, в окрестности любой своей точки (рис. 2, a), а вогнутость (книзу) — тем, что дуга кривой лежит не выше касательной (рис. 2, б). Аналогично определяются В. и в. поверхности.

Рис. 1 к ст. Выпуклость и вогнутость.

Рис. 2 к ст. Выпуклость и вогнутость.

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x₀, f ( x₀ ) ), x₀ ( a, b ).

Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x₀, f ( x₀ ) ), x₀ ( a, b ).