Определение конформного отображения
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
.
Определение. Отображение называется конформным в точке
, если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке
.
Из выше сказанного вытекает, что если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки
(регулярна в точке
) и
, то отображение
является конформным в точке
.
Определение. Пусть функция однолистна в области D и пусть отображение
является конформным в каждой точке области D. Тогда это отображение называется конформным.
Если сохраняется не только величина углов, но и ориентация, то отображение называется конформным первого рода. Если же ориентация меняется на противоположную, то – конформным второго рода.
Из определения однолистной функции, определения конформного отображения в точке и свойств производной вытекает, что если функция
1. дифференцируема в области D,
2. однолистна в области D,
3. ее производная отлична от нуля в этой области,
то отображение является конформным.
Следующий материал готовить для доклада на следующем семинаре:
1. Линейная функция;
2. Дробно-линейнаяфункция;
3. Функция Жуковского.
4. Функция ;
5. Тригонометрические функции и
;
6. Гиперболические функции и
.
Линейная функция
Определение.Линейной функцией называется функция вида:
, (1.1.)
где и
– некоторые постоянные комплексные числа
.
Очевидно, что отображение (1.1.) будет конформным во всей плоскости комплексного переменного и при том взаимно однозначным.
Рассмотрим сначала три случая, при чем, для простоты и
будем изображать точками одной плоскости.
1) .
Это отображение есть сложение векторов, а, фактически, параллельный перенос точек плоскости на вектор .(Рис. 2.1.1).
![]() |
Рисунок 2.1.1.
2) .
Пусть , тогда
. В этом случае имеем:
,
![]() |
то есть точка
![Определение конформного отображения Определение конформного отображения - student2.ru](/images/matematika/drobno-lineynaya-funkciya-425652-10.png)
![Определение конформного отображения Определение конформного отображения - student2.ru](/images/matematika/drobno-lineynaya-funkciya-425652-80.png)
![Определение конформного отображения Определение конформного отображения - student2.ru](/images/matematika/drobno-lineynaya-funkciya-425652-182.png)
![Определение конформного отображения Определение конформного отображения - student2.ru](/images/matematika/drobno-lineynaya-funkciya-425652-182.png)
Рисунок 2.1.2.
3) – постоянное комплексное число (если
, то все точки комплексной плоскости перейдут в нулевую точку).
Запишем в показательной форме, тогда получим
.
Это означает, что длина вектора меняется в
раз (то есть
– коэффициент подобия) и к аргументу
прибавляется угол
(поворот вокруг начала координат на угол
).
Окончательно получим, что отображение, осуществляемое функцией , есть комбинация преобразований точек плоскости:
1. поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу числа ;
2. подобие с центром в начале координат и коэффициентом подобия равным модулю числа
;
3. параллельный перенос на вектор , при котором начало координат переходит в точку
.
Функция является аналитической.
При отображении, осуществляемом с помощью линейной функции, фигуры переходят в подобные им фигуры (на рис. 2.1.3. это показано для функции ). Это свойство называется свойством сохранения формы.
![]() |
Рисунок 2.1.3.
Этим свойством обладает и преобразование , которое называется антилинейным. Оно сохраняет форму, но меняет ориентацию обхода границы фигуры на противоположную (На Рис. 2.1.4. это показано для функции
)
![]() |
Рисунок 2.1.4.
Отсюда вытекает, что любое преобразование подобия задается линейной или антилинейной функцией, при чем если ориентация сохраняется, то оно задается линейной функцией.
Поскольку линейная функция определяется двумя параметрами
и
, то для её задания нужны два условия.