Тема «Параллельность и перпендикулярность»

Билет № 1

1. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства.

2. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Билет № 2

1.Равносторонний треугольник. Определение и свойства.

2. Докажите, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

Билет № 3

1. Виды углов. Определения и свойства.

2. Третий признак равенства треугольников.

Билет № 4

1. Середина отрезка. Построение середины отрезка.

2. Первый признак равенства прямоугольных треугольников.

Билет № 5

1. Биссектриса треугольника. Построение биссектрисы угла.

2. Теорема о сумме внутренних углов треугольника.

Билет № 6

1. Треугольник и его элементы.

2. Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Билет № 7

1. Угол. Построение угла, равного данному.

2. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Билет № 8

1. Окружность и её элементы.

2. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Билет № 9

1. Аксиома. Теорема. Следствие.

2. Первый признак равенства треугольников.

Билет № 10

1.Параллельные прямые и признаки параллельности двух прямых.

2. Второй признак равенства треугольников

Билет № 11

1. Расстояние от точки до прямой.

2. Докажите свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30⁰.

Билет № 12

1.Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

2. Докажите теорему о внешнем угле треугольника.

Билет № 13

1. Расстояние между двумя параллельными прямыми.

2. Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Билет № 14

1. Построение треугольника по трём сторонам.

2. Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Билет № 15

1. Прямоугольный треугольник и его элементы.

2. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых соответственные углы равны.

Задачи к билетам

Тема «Треугольники»1. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла А, пересекает его стороны в точках В и С. Докажите, что треугольник AВС является равнобедренным.

2. В прямоугольных треугольниках АВС и А₁В₁С₁ из вершин прямых углов С и С₁проведены высоты СН и С₁Н₁; СН = С₁Н₁, АН = А₁Н₁. Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны.

3. В равностороннем треугольнике АВС на стороне АВ отложен отрезок АА₁ = 1/3АВ, на ВС – отрезок ВВ₁ = 1/3BC и на СА – отрезок СС₁ = 1/3СА. Докажите, что треугольник А₁В₁С₁равносторонний.

4. В треугольнике АВС углы А и С равны. На стороне АС взяты точки D и Е такие, что АD = СЕ. Докажите, что треугольник DВЕ равнобедренный.

5. Определите вид треугольника, вершинами которого являются середины сторон равнобедренного треугольника.

6. В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены высоты, которые пересекаются в точке Н. Докажите, что ВН _┴ АС.

7. В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30°. Вершина прямого угла С соединена отрезком с точкой М, принадлежащей гипотенузе. Угол АМС равен 60°. Докажите, что СМ является медианой треугольника.

8. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются под углом 128°. Найдите угол С.

9. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 12 см. Найдите расстояние от нее до точки пересечения медиан треугольника.

10. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Найдите периметр квадрата, если гипотенуза равна 8 см.

11. Перпендикуляр, опущенный из середины одного катета на гипотенузу, равен 6 см, а середина гипотенузы отстоит от этого же катета на 7,5 см. Найдите стороны данного треугольника.

Тема «Параллельность и перпендикулярность»

12. Найдите углы четырехугольника АВСD, если АВ ||СD, угол АВС = 138°, угол СDА = 52°.

13. Докажите, что биссектрисы двух: а) соответственных или накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, параллельны; б) внешних или внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, перпендикулярны.

14. В треугольнике АВС угол А = 42°, угол В = 48°. Треугольник пересечен прямой, параллельной стороне АС. Определите углы образовавшегося треугольника.

15. Отрезки АС и ВD в точке пересечения делятся пополам. Соедините последовательно точки А, В, С, D и докажите, что параллельны и равны отрезки: а) АВ и СD; б) ВС и АD.

16. Из точки С, взятой внутри угла АОВ, равного 53°, проведены прямые, параллельные сторонам данного угла. Найдите наибольший угол при точке С.

17. Прямая, пересекающая две параллельные прямые, образует с одной из них угол в 150°. Найдите отрезок секущей, заключенный между этими прямыми, если расстояние между двумя параллельными прямыми равно 27 см.

18. Докажите, что середина отрезка прямой, заключенного между двумя параллельными прямыми, является серединой отрезков прямых, проходящих через эту точку и заключенных между теми же параллельными прямыми.

19. В треугольнике АВС проведена биссектриса угла В, пересекающая сторону АС в точке D. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что DЕ = ВЕ.

20. В окружности проведены хорды АВ || СD и АЕ || FD. Докажите, что хорды FВ и СЕ параллельны.

21. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка D таким образом, что угол DАС = углу АВС. Докажите, что угол АDС = углу ВАС.

22. В треугольнике биссектрисы двух углов пересеклись под углом 140°. Определите вид данного треугольника.

23. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С – прямой) АD и ВЕ – продолжения гипотенузы. Биссектрисы углов САD и СВЕ продолжены до пересечения в точке М. Найдите угол АМВ.

24. На отрезке АВ взята произвольная точка С. Через точки А и В проведены по одну сторону от данного отрезка параллельные лучи. На них соответственно взяты точки D и Е таким образом, что АD = АС и ВЕ = ВС. Найдите угол DСЕ.

25. В треугольнике АВС биссектрисы внутренних углов В и С пересекаются в точке О. Через эту точку проведена прямая ОD параллельно АС до пересечения с ВС в точке D и прямая ОЕ параллельно АВ до пересечения с ВС в точке Е. Докажите, что периметр треугольника ОЕD равен длине стороны ВС.

26. На прямой a взята точка А. Через нее проведена прямая АВ; АС и АD – биссектрисы соответственно углов ВАМ и ВАN. На АС и АD взяты соответственно точки К и L. Докажите, что если КL || MN, то АВ делит отрезок КL пополам.

27. MN и РQ – параллельные прямые. Из точки А, принадлежащей прямой MN, проведены к прямой РQ наклонная АВ и перпендикуляр АС (точки В и С принадлежат прямой РQ). Точка D принадлежит прямой MN, и прямая ВD пересекает АС в точке Е. Докажите, что если ЕD = 2АВ, то угол DВС = 1/3 угла АВС.

28. Из точки, принадлежащей одной из сторон острого угла, проведен к ней перпендикуляр. Докажите, что он пересекает другую сторону данного угла.