Экстремум функции нескольких переменных
9.1. Локальный экстремум
Пусть функция определена в некоторой
–окрестности точки
. Говорят, что функция
имеет в точке
локальный максимум (минимум), если существует такая
– окрестность
точки
;
, что для любой точки
выполняется неравенство
.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.
9.2. Необходимое условие локального экстремума (теорема)
Если функция в точке
имеет локальный экстремум и в этой точке существуют частные производные 1-го порядка по всем переменным, то все эти частные производные равны нулю:
.
Если функция дифференцируема в точке
, то соотношение
также является необходимым условием локального экстремума.
Точки, в которых выполняются эти равенства, называются стационарными. Функция может принимать локальный экстремум только в стационарных точках или в точках, в которых частные производные первого порядка не существуют. Все такие точки называют критическими.
9.3. Знакоопределенные квадратичные формы
Функция переменных
называется квадратичной формой. Числа
– коэффициенты этой формы.
Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для любых значений переменных , одновременно не равных нулю, она принимает положительные (отрицательные) значения.
Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
,
где
.
9.4. Достаточное условие локального экстремума
Пусть в некоторой окрестности стационарной точки функция
дважды дифференцируемая и все частные производные второго порядка
непрерывны в точке
.
Если в этой точке второй дифференциал представляет собой знакоопределенную квадратичную форму от дифференциалов
независимых переменных, то в точке
функция
имеет локальный экстремум. При этом если
(
) и
, то в этой точке
функция
имеет локальный минимум (максимум). Этот случай соответствует условию:
где
.
Если в точке второй дифференциал представляет собой не строгую определенную квадратичную форму, т.е.
или
, что соответствует условию:
или
, и имеется
, при котором
, то требуется дальнейшее исследование и вопрос о существовании экстремума в точке
решается с помощью приращений функции в окрестности критической точки.
Во всех остальных случаях в точке заведомо нет экстремума.
Пример. Исследовать на локальный экстремум функцию
Решение. Область определения данной функции – вся плоскость . Определим, в каких точках области определения данной функции выполняются необходимые условия существования экстремума.
Частные производные функции:
Для определения координат стационарных точек функции составляем систему уравнений
Отсюда и
– точки возможного экстремума.
Проверим выполнение достаточных условий существования экстремума в точках знакоопределенности второго дифференциала
,
который представлен квадратичной формой от дифференциалов .
Вторые частные производные данной функции:
Рассмотрим точку . Поскольку
, то
– этот случай соответствует третьему условию. Следовательно, точка
не является экстремальной.
В точке
. Отсюда
, т.е. выполняется первое условие. Следовательно,
– точка минимума функции, причем
.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. Необходимые условия существования экстремума выполняются в тех точках области определения данной функции, координаты которых удовлетворяют системе уравнений:
т.е.
Отсюда, геометрическое место критических точек есть прямая . Так как
во всех точках прямой
, то нужно исследовать функцию на экстремум, исходя из определения.
Определим знак приращения функции в точках найденной прямой:
Поскольку то
.
Так как , то в точках прямой
(а не в одной точке) функция
имеет нестрогий минимум.
9.5. Условный экстремум
Функция имеет условный максимум (условный минимум) в точке
, если существует такая окрестность точки
, для всех точек
которой
, удовлетворяющих уравнениям связи
, где
выполняется неравенство
(соответственно ).
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию не безусловный экстремум функции Лагранжа:
;
постоянные называются множителями Лагранжа.
При этом знак второго дифференциала в стационарной точке
определяет характер экстремума при условии, что дифференциалы
связаны соотношениями
,
где при
.
Пример. Исследовать на экстремум функцию ![]() ![]() ![]() | ![]() |
Решение. Графиком функции служит верхняя часть сферы. Эта функция имеет максимум в начале координат,
; если уравнение прямой
есть
, то геометрически ясно, что для точек этой прямой наибольшее значение функции достигается в точке
, лежащей посередине между
и
. Точка
– точка условного экстремума (максимума) функции
на данной прямой, а ей соответствует точка
на полусфере, аппликата которой
.
Решим эту задачу через функцию Лагранжа
и исследуем ее на безусловный экстремум.
Стационарные точки функции определяются из системы уравнений
т.е. условный экстремум исследуемой функции совпадает с безусловным экстремумом функции .
Проверим выполнение достаточных условий существования экстремума в стационарной точке . С этой целью найдем вторые производные функции Лагранжа в стационарной точке
.
;
;
,
откуда .
Так как при этом , то точка
есть точка максимума функции
, следовательно, точка условного максимума функции
, причем
.
9.6. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции
Если функция определена и непрерывна в некоторой ограниченной и замкнутой области
и за исключением, быть может, отдельных точек имеет в этой области конечные частные производные, то в этой области найдется точка
, в которой функция получает наибольшее и наименьшее из всех значений.
Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции в замкнутой области, нужно найти все максимумы или минимумы функции, достигаемые внутри этой области, а также наибольшее или наименьшее значение функции на границе области. Наибольшее из всех этих чисел и будет наибольшим значением, а наименьшее – наименьшим.
В задачах на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на некоторой линии, решая задачу исследования функции на условный экстремум.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями
.
Решение. Так как область задания функции замкнута и функция в ней непрерывна, то она обязательно принимает наибольшее и наименьшее значения в этой функции.
Исследуем функцию на экстремум внутри области задания функции.
Критические точки найдем, решая систему уравнений
Заметим, что только точка принадлежит области задания функции.
Проверим выполнение достаточных условий существования экстремума в точке :
;
;
.
Так как , то
.
Исследуем функцию на границе области, которая состоит из отрезка оси , отрезка оси
и отрезка прямой
. На оси
; на оси
. На отрезке прямой
, уравнение которой
, заданная функция пишется в виде функции одной переменной, например,
.
Исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значения на отрезке ![]() ![]() | ![]() |
Необходимое существование экстремума этой функции выполняется при , так как
.
Проверим выполнение достаточного условия существования экстремума функции в точке
.
Так как , то при
функция имеет минимум,
.
Кроме того, на концах отрезка
. Отсюда на
,
.
Эти же значения являются наибольшими и наименьшими значениями функции на границе области задания.
Сравним значение функции с наибольшим и наименьшим значениями этой функции на границе области задания, делаем вывод:
,
.