Дробно-рациональные уравнения

Стандартный вид дробно-рационального уравнения:

(3.8)

где – многочлены.

Область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения: Решение уравнений (3.8) сводится к решению системы

Дробно-рациональные уравнения вида

где – многочлены, можно решать, используя основное свойство пропорции:

К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относится также метод замены переменной.

Некоторые специальные приемы будут рассмотрены далее на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Сводим заданное уравнение к стандартному виду (3.8):

т. е.

Его решением будет решение системы

т. е.

Значит, решением заданного уравнения является

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:

Получаем:

Откуда

Оба корня являются решениями, так как подходят по ОДЗ. В ответе имеем:

Пример 3.Решить уравнение

Решение. Группируем слагаемые

Заменяем

откуда

т. е. и

Получаем уравнение или, то же самое,

Полученное уравнение имеет корни:

Возвращаемся к переменной х:

В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений

которые решаем на ОДЗ: Приходим к ответу

Пример 4.Решить уравнение

Решение. Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:

Получаем уравнение, которое приобретает вид

Заменяем и приходим к уравнению

Решая его, найдем корни:

Возвращаемся к старой переменной:

Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ):

Приходим к ответу

Пример 5.Решить уравнение

Решение. Введем замену:

Тогда и получим уравнение

Решаем его:

т. е.

Решая квадратное уравнение, находим корни:

Вернемся к переменной х:

Решаем первое уравнение:

Второе уравнение не имеет решения, так как

Получили ответ:

Задания

I уровень

1.1. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

II уровень

2.1. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

3.2. Найдите квадрат суммы корней при

3.3. Определите при каких значениях а уравнение имеет действительные корни:

Уравнения с модулем

Модулем (абсолютной величиной) числа называется неотрицательное число:

(3.9)

Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки а до точки х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки х.

Свойства модуля:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной х под знаком модуля, называется уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

I тип: уравнение вида

(3.10)

где а – число, – некоторое выражение с неизвестной х.

1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.

2. Если уравнение (3.10) равносильно уравнению

3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:

II тип: уравнение вида

где – некоторые выражения с неизвестной х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения

З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения х, для которых

2) нанести полученные значения х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип:уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида

(3.11)

где – некоторые выражения с неизвестной х.

1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ –метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип: уравнение вида

(3.12)

где – некоторые выражения с неизвестной х;

1-й способ – решение уравнения (3.12) сводится к решению совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: уравнения, решаемые заменой переменной, например:

где – некоторые выражения с неизвестной х;

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной у. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

Пример 1.Решить уравнение

Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ:

Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем

откуда т. е.

Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Пример 2.Решить уравнение

Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

(3.13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду

откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем

т. е.

Квадратное уравнение имеет корни:

т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:

(3.14)

Решаем первую систему совокупности (3.14):

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности (3.14):

Получили ответ

Пример 4.Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

I.

II.

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

После упрощения имеем:

т. е.

Получаем – корень.

Пример 6.Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем

Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии

Приходим к совокупности

т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу:

Пример 7.Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

т. е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ:

Задания

I уровень

1.1. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

II уровень

2.1. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

3.2. Найти количество натуральных корней уравнения

3.3. Решите уравнение:

если

3.4. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет единственный корень.

3.5.Для каждого значения а найдите множество решений:

3.6. Определите, при каком значении а уравнение имеет ровно три решения:

1) 2)