Свойства пределов функции

Пусть все функции, рассматриваемые ниже, определены на (а, в), кроме, быть может, фиксированной точки х_о Î (а, в), тогда верны следующие свойства:

1. Если j ( х ) £ ¦ ( х) £ y ( х ) и

А = = Þ = A.

2. Если ¦(х) = С (сonst) Þ ¦(x) = C .

3. Если cущ. Þ"с - const

4. Если существуют конечные пределы и , тогда:

а) ;

б) ;

в) = .

Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей. Для доказательства этих свойств введем понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 4.4. Функция a = a(х) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при х ® х_o, если

Лемма 4.2. Предел существует и равен А Û ¦ (х) = A + a (х),

где a (х) - бесконечно малая.

Доказательство: Пусть , то, полагая

¦(х) - A = a (х), получим .

обратно, если ¦(х) = A + a(х) и .

Из леммы 3.2. следует, что если , то в некоторой окрестности О_хо знак f(х) (х Î C) совпадает со знаком числа А.

Определение 4.5. Функция f = f(x) называется бесконечно большой при х ® х_о, если "e > 0 $ d = d (e) > 0: ç¦(x)ç > e, "x : çx -x_oç< d, x < x_o. В этом случае будем писать .

Если "e > 0 $ d : ¦(х) > e ( ¦(х) < - e) "х : çх-х_о ç < d,

х ¹ х_о Þ , ( ).

По аналогии с конечными односторонними пределами определяются односторонние бесконечные пределы , .

Замечание.

Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

Пусть a = a (х), a (х) ¹ 0 при х ¹ х_о есть в бесконечно малой (или бесконечно большой) тогда бесконечно большая (бесконечно малая).

В дальнейшем будем использовать символические записи для любого числа а>0 : , , , , , .

Рассмотрим свойства бесконечно малых функций.

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, определенная на общем множестве, есть величина бесконечно малая при х ® х_о.

2) Произведение ограниченной при х ® х_о функции на бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2") Произведение конечного числа бесконечно малого при х ® х_о есть функция бесконечно малая.

3) [a( х ) ]ⁿ - ( n - целая положительная степень) a (х) - бесконечно малая тогда и [a (х) ]ⁿ - бесконечно малая.

4) Что касается отношения двух бесконечно малых

,

- может быть функция произвольного поведения.

Но с помощью действия деления можно сравнить между собой бесконечно малые.

Определение 4.6. a (х), b (х) бесконечно малые при х ® х_о имеют одинаковый порядок, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т.е. =K¹ 0.

Определение 4.7. Порядок бесконечно малой b (х) выше порядка бесконечно малой a(х), если отношение есть бесконечно малое при х ® х_о, т.е. = 0.

В этом случае пишут b(х) = 0 [a (х)] при х ® х_о .

Определение 4.8. Бесконечно малая b (х) имеет предел n относительно бесконечно малой a (х) при х ® х_о, если

= K ¹ 0.

Докажем одно из свойств сформулированных в1.5.3., например, свойство

4. Если существуют конечные пределы и , тогда:

Доказательство:Пусть ,

Тогда имеем на основании 3.2. ¦(х) = A + a (х), g(х) = B + b(х), где a(х), b(х) - бесконечно малые при х ® х_о

Тогда ¦(х) × g(х) = A × B + g(х), где g(х) = A × b (х) + b × a) + a (х) × b(х) -

есть бесконечно малая Þ g(х) ® 0 бесконечно малая на основании свойств бесконечно малой функции.

Отсюда

.

Рассмотрим в качестве примера предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге.

Теорема 4.3. Первый замечательный предел. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, .

Доказательство: Пусть х > 0 и х ® 0, так что 0 < х < .

Рис.4.4.

В тригонометрическом круге R = 1 рассмотрим S D_ОАВ, S cек. ОАВ, SD_ОАВ

SD_ОАВ = SD_ОАВ =

Получаем

т.е. Sin x < x < tg x разделим на Sin x > 0, получим

1 < или cos x < .

Пусть теперь х ® 0 + 0, но

т.к. 1 - cos x = 2 sin² бесконечно малая по условию,

то . Тогда функция заключена между двумя функциями, имеющими предел, равный 1.

На основании свойства 1, получаем .

Если х < 0 ; имеем , где - х > 0.

Поэтому .

З а м е ч а н и е. " х çsin x ç £ çx ç, причем равенство имеет место при

х = 0.

Теорема 4.3. Второй замечательный предел. (Число е).

Ранее было доказано, что последовательность имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Можно доказать, что функция у = , х Î (-¥, -1) È (0, +¥) при х ® ¥ стремится к е:

е = .

Пусть , тогда e = или ,

где е = 2,7182818284...