Решение задач по 1 и 2 алгоритмам
Задача №55
Построить проекции точки пересечения прямой с поверхностью: в Ç D.
Алгоритм построения.
в - фронтально проецирующая прямая.
D - конус вращения (поверхность непроецирующая)
1) в ^^ П2 Þ в2 = К2
2) К1 Î D
Горизонтальную проекцию К1 можно построить двумя способами:
1 способ: точка К принадлежит образующей SA(S2A2 Þ S1A1)
2 способ: точка К принадлежит параллели с(с2 Þ с1)
3) Определяем видимость прямой и поверхности конуса на П1.
4) На П2 при данном расположении конуса все точки видимы, в т. ч. и К2.
Задача №57
Построить проекции линии пересечения заданных плоскостей: S Ç Г(а || b) = m.
Алгоритм построения.
SÇГ(a || b) = m(прямая); 2 ГПЗ, 2 алг.
1) S ^^ П1 Þ m1 =S1
2) m2 Ì Г
a1 Ç m1 = 11 Þ 12 ; b1 Ç m1 = 21 Þ 22 Þ m2
На П2 отрезок 1222(m2) будет фронтальной проекцией линии пересечения.
Задача №58
Построить проекции линии пересечения поверхностей с плоскостью: S Ç Г = m; L Ç Г = l1,l2
Построения проводим для каждой поверхности отдельно:
1. Цилиндрическая поверхность L Ç Г = l1,l2 (2 образующие цилиндра). Это 2 ГПЗ. Случай, когда обе фигуры проецирующие, но относительно одной и той же плоскости проекций (см. М3, стр. 24). Поэтому решаем эту часть задачи по 2 алгоритму.
Г - горизонтально проецирующая плоскость;
L - горизонтально проецирующая поверхность.
Общим элементом пересечения будут являться две образующие l1 и l2 – горизонтально проецирующие прямые.
Г ^^ П1; L ^^ П1 Þ l11 и l21 - точки
Находим фронтальные проекции образующих l(l1,l 2) по принадлежности L, с учётом видимости.
2. Конус S Ç Г = m (гипербола); 2 ГПЗ, 2 алг.
Эту задачу решаем точно так же, как описано в М3 стр.13.
Г || П1 Þ m = Г1
На m1 возьмём 7 точек и строим их, как описано в М3-13.
а) Точки 1(11,12) и 7(71,72) расположены на основании конуса; точка 5(51,52) - на очерковой образующей конуса, она определяет видимость гиперболы относительно П2, так как расположена в плоскости фронтального меридиана;
б) Точка 4(41,42) - вершина гиперболы (41 - ближайшая к центру вращения);
в) Точка 2(21,22) и 6(61,62) - промежуточные, лежат на одной параллели; точка 3(31,32) - промежуточная, лежит на одной параллели с точкой 5(51,52).
г) Строим m2 с учётом видимости.
Общий вид решения задачи:
Задача №60
Построить три проекции шара со сквозным отверстием.
Эта задача является аналогом задачи, рассмотренной в М3, стр. 14-15, с той разницей, что в М3 пересекаются поверхности сферы и призмы, а в данной задаче - тело шара с призматическим вырезом; кроме того, в М3 призма – горизонтально проецирующая, а в данной задаче вырез имеет форму фронтально проецирующей призмы. Однако, принцип решения тот же.
Сквозное отверстие представляет собой фронтально проецирующую трехгранную призму. Каждая грань - это секущая плоскость на шаре.
Алгоритм построения разделим на три этапа:
1. Сечение шара плоскостью S(S2)
2. Сечение шара плоскостью D(D2)
3. Сечение шара плоскостью Г(Г2)
Этап.
S(S2) - фронтально проецирующая пл-ть. При сечении этой плоскостью шара получаем кривую - эллипс на П1 и на П3.
На S2 возьмём 7 точек. Построения на П1 начинаем с характерных точек:
точка 1(12) принадлежит фронтальному меридиану Þ 11;
точка 3(32) принадлежит экватору и определяет видимость эллипса на П1 Þ 31.
Так как эллипс на П1 симметричен относительно плоскости фронтального меридиана, то точки на П1 будем обозначать только в одной полусфере.
Находим эти точки на П3. Точка 1(12) принадлежит профильному меридиану Þ 13 (относительно П3 – это характерная точка).
Достроив остальные профильные проекции точек с учетом видимости, соединим их, получим кривую неполного эллипса..
Этап
D(D2) - горизонтальная плоскость уровня создает при сечении шара неполную окружность на П1 - невидимую, а на П3 окружность проецируется в прямую, видимую от точки 13 до точки 103 и невидимую часть от 103 до 93.
Этап
Г(Г2) - профильная плоскость уровня при сечении шара создает:
на П3 - неполную окружность (невидимую);
на П1 проецируется в два отрезка видимых от 71 до 81 и невидимых от 81 до 91.
Уточняем контур видимых линий на П1 и П2.
Этап
Г(Г2) - профильная плоскость уровня при сечении шара создает:
на П3 - неполную окружность (невидимую);
на П1 проецируется в два отрезка видимых от 71 до 81 и невидимых от 81 до 91.
Уточняем контур видимых линий на П1 и П3.
Задача №61
Построить проекции линии пересечения поверхностей: S Ç L = m.
Алгоритм решения
Пересекаются два цилиндра Þ это 2 ГПЗ, характер пересечения - вмятие Þ общий элемент - одна пространственная кривая m. Цилиндр - профильно проецирующий, цилиндр – общего положения Þ решаем по 2 алгоритму: S ^^ П3 Þ m3 = S3; m2 Ì L
1. На m3 возьмём несколько точек
2. Точки 1(13) и 5(53) принадлежат профильным образующим цилиндра L Þ 12, 52 (невидима).
3. Точки 2(23 и 23') принадлежат фронтальному меридиану цилиндра S и определяют видимость кривой m относительно П2 Þ 22, 22'.
4. Построение фронтальных проекций точек 32, 32’, 42, 42’, которые на П2 будут невидимыми.
5. На П2 соединим точки с учетом видимости и получим фронтальную проекцию кривой m2.
Задача №64
Построить проекции линии пересечения поверхности призмы Ф(Ф1,Ф2) с плоскостью Г(h Ç f).
Результат пересечения - треугольник АВС.
Алгоритм решения:
Призма - горизонтально проецирующая, плоскость - общего положения Þ 2 ГПЗ, 2 алг.
Ф ^^ П1 Þ А1В1С1 = Ф1. А2В2С2 Ì Г.
Задача имеет несколько вариантов решения. Выберем самый оптимальный.
1. Сторона треугольника АС(А1С1) пересекается с горизонталью и фронталью плоскости Г в точках 1(11) и 2(21) Þ 12 и 22, проведём через эти точки А2С2.
2. В1С1 || f1 Þ B2C2 || f2, проводим В2С2 с учётом видимости. Грань, на которой расположена сторона ВС, на П2 невидима Þ В2С2 - невидима.
3. По тем же причинам невидима сторона А2В2.
Подумайте, как можно ещё решить эту задачу. Сколько способов решения вы насчитали?
Задача №67
Построить проекции линии пересечения цилиндра с поверхностью полукольца: Г Ç Ф = в.
Пересекаются две поверхности вращения Þ результат пересечения - пространственная кривая; характер пересечения - вмятие Þ кривая линия - одна.
Алгоритм решения
Г Ç Ф = в, 2 ГПЗ
Г ^ П1, Ф – непроецирующая Þ 2 алгоритм
Г ^^ П1 Þ в1 = Г1; в2 Ì Ф
На проекции кривой в1 возьмём несколько точек. Видимость проекций этих точек на П2 определяется плоскостью фронтального меридиана цилиндра.
1. Точки 1(11) и 2(21) принадлежат ближней параллели полукольца радиусом R’ Þ 12 и 22 находим без дополнительных построений по принадлежности этой параллели. 12 и 22 - видимые.
2. Точки 51 и 61 (видимые на П1) принадлежат окружности R-экватору, на П2 точки 52 и 62 не видны; точки 51’ и 61’(невидимы на П1) лежат на окружности горла r, на П2 точки 52’ и 62’ - невидимые.
Обратите внимание! Мы построили проекции точек, лежащих на главных параллелях полукольца без вспомогательных построений, пользуясь только линиями связи.
3. Горизонтальные проекции точек 31, 31’, 41, 41’ лежат в плоскости фронтального меридиана цилиндра, которая является границей видимости линии пересечения относительно П2. Проведем параллели через эти точки: радиусом R - для точек 31 и 41; радиусом r - для точек 31’ и 41’.
На П2 на пересечении параллелей и линий связи получим фронтальные проекции этих точек, которые будут видимыми.
4. Точки 71 и 71’ лежат на параллелях тех же радиусов, но на П2 будут невидимы.
5. С учетом видимости проекций точек на П2 проведем кривую - фронтальную проекцию линии пересечения полукольца и цилиндра – в2.
6. На П2 окончательный этап построения заключается в обводке видимого и невидимого контуров полукольца и цилиндра.
Задача №71
Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью: d Ç W = А,В.
Алгоритм построения.
d Ç W = А,В ( две точки ) 1 ГПЗ, 3 алгоритм
1. Для решения задачи необходимо взять вспомогательную плоскость - посредник S.
S ^^ П2; S É d ÞS2 = d2
2. Теперь в пересечении участвуют плоскость S и поверхностьW, причем плоскость - фронтально проецирующая.
S Ç W = в (плоская кривая второго порядка - эллипс.) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.
S ^^ П2 Þ в2 = S2; в1 Ì W
Построение горизонтальной проекции кривой в1:
а) На П2 плоскость - посредник S2 пересекает проекции всех образующих цилиндра. Сначала построим точки на очерковых образующих цилиндра - 1(12) и 2(22). Находим горизонтальные проекции образующих с учетом видимости и соответствующие проекции точек на них - 11 и 21.
Обратите внимание: точка 21 должна быть невидимой, но нам она видна через верхнее отверстие, т.к. у цилиндрической поверхности нет плоскостей оснований.
б) Видимость относительно П1 определяется точками, лежащими на образующих АА’, ВВ’.
Чтобы найти эти точки, произведём следующее:
1. Определим положение этих образующих на П2;
2. Найдём точки пересечения этих образующих с S2: 42, 42’, 52, 52’.
3. Находим горизонтальные проекции этих точек: 41 и 51’ - вершинные точки, лежащие на очерковых образующих, и 41’ и (51), лежащие на промежуточных образующих.
4. Таким образом, видимость относительно П1 определится участком цилиндра от образующей АА’(А2А2’) до ВВ’(В2В2’) через СС’(С2С2’).
в) Для построения кривой в1 - эллипса найденных точек недостаточно, поэтому на П2 возьмем произвольно еще 3 пары точек: 3(32, 32’), 6(62, 62’) и 7(72, 72’).
На П1 точки 31’, 61 и 61’ будут видимые;
точки 31 и 71’ - невидимые,
точка 71 - видимая через отверстие сверху.
г) С учетом видимости на П1 соединим точки и получим кривую в1
3. Там, где в1 Ç d1 = А1,В1 причем точка В1 - невидимая.С помощью линий связи находим фронтальные проекции точек А2,В2, причем, точка В2 - невидима.
4. Уточняем видимость прямой d на П1 и П2. Горизонтальная проекция прямой d1 до точки А1 - видимая, внутри невидимая и будет видна только после очерковой цилиндра. Видимость фронтальной проекции прямой d : от точки А2 до 22 - не видна.
Задача №73
Построить проекции линии пересечения:
АВС Ç DEF = MN (прямая) 2 ГПЗ, 3 алгоритм.
MN - прямая, для построения которой необходимо иметь две точки, поэтому возьмём две плоскости-посредника: Г2 и Г2’, которые выгодно провести через две стороны любого из треугольников. Проведём Г(Г2) через сторону DF(D2F2).
Алгоритм построения
1. Г Ç АВС = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.
Г ^^ П2 Þ 12,22 = Г2
11, 21 Ì АВС.
Там, где 11, 21 Ç D1F1 = M1 Þ M2 Ì D2F2
Определили первую точку М(М1,М2)
2. Нахождение второй точки N(N1, N2)
Г’(Г2’) = ЕF(E2F2);
Г’ Ç АВС = 3,4 (прямая)
2 ГПЗ, 2 алгоритм
Г’ ^^ П2 Þ 32, 42 = Г2’
3141 Ì АBC.
Там, где 31,41 Ç E1F1 = N1 Þ N2 Ì E2F2
Линия пересечения фигур MN - построена. Следующий этап решения - видимость пересекающихся плоскостей. Возьмём фронтально конкурирующие точки 1 и 5 и определим видимость D2M2. На П1 точка 51 расположена ближе точки 11, следовательно, D2M2 - видимая, а также видна E2N2
Для определения видимости на П1 отрезков Е1N1 и скрещивающегося с ним А1С1 достаточно посмотреть на П2 по стрелке Л: прямая Е2N2 выше, чем прямая А2С2, следовательно, отрезок Е1N1, а также и отрезок D1М1 - видимые.
Задача №76
Построить проекции линии пересечения поверхностей вращения: D Ç L= m,n.
Алгоритм построения
D Ç L = m,n (2 плоские кривые-эллипсы) (по теореме Монжа)
А и В - точки двойного соприкосновения.
1. Построение горизонтальной проекции эллипса – n1. На П2 на линии n2 возьмем несколько точек и найдем их горизонтальные проекции по принадлежности конусу D.
С учетом видимости соединим точки плавной кривой Þ n1.
2. Построение горизонтальной проекции эллипса – m1. Возьмём на m2 несколько точек и найдем их горизонтальные проекции по принадлежности конусу D. Соединяя их с учетом видимости, построим m1
Внимание! Построение эллипсов на конусе подробно описано в М3, стр. М3-10, М3-11.
Задача №78
Построить три проекции конуса с призматическим вырезом, на виде слева совместить половину вида с половиной разреза.
Модуль №4
Метрические задачи
Задачи в рабочей тетради на странице 37 графически решаются просто. Такие задачи приводятся для того, чтобы Вы обратили особое внимание на их решение, т.к. в дальнейших сложных (конструктивных) задачах эти решения будут определять "решающее положение оригинала" (Модуль 4, ст. 23).
Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами (Модуль 4, стр. 8)
К таким задачам относятся: задачи на определение расстояний от точки до прямой, до плоскости, до поверхности; между параллельными и скрещивающимися прямыми; между параллельными плоскостями и т. п.
Все эти задачи объединяют три обстоятельства:
во-первых, поскольку кратчайшим расстоянием между такими фигурами является перпендикуляр, то все они сводятся к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
во-вторых, в каждой из этих задач необходимо определять натуральную длину отрезка, то есть решать вторую основную метрическую задачу.
в-третьих, это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.
Задача №81
Определить расстояние между прямыми. Прямые а и в занимают положение горизонтально проецирующих прямых
Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n1,n2).
n - горизонталь, т.к. а и в ^ П1, но n ^ а и в, значит n || П1.
Решающее положение для определения расстояния между параллельными прямыми.
Горизонтальная проекция n Þ n1 есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали.
Задача №82
Определить расстояние между прямыми. Прямые с и d параллельны и занимают положение фронталей.
Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n1,n2).
Начинаем построение с n2 (теорема о проецировании прямого угла), n2 ^ с2, d2 Þ n1
Натуральной величины на чертеже нет, т.к. n(n1,n2) – прямая общего положения
Определяем n методом прямоугольного треугольника.
Задача №83
Определить расстояние между прямыми. Прямые: l - горизонтально проецирующая, m - общего положения.
Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n1,n2).
Т.к. l ^^ П1, то перпендикуляр к ней - есть горизонталь, и по теореме о проецировании прямого угла проводим n1 ^ m1, n Ç m Þ 1(11).
Решающее положение для определения расстояния между прямыми.
Горизонтальная проекция n Þ n1 есть искомая величина.
Задача №84
Определить расстояние от точки до прямой:
Расстояние между точкой и прямой - это перпендикуляр n(n1,n2).
Решающее положение для определения расстояния между точкой и прямой.
Горизонтальная проекция n Þ n1 есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали (аналогично заданию №81)
Задача №85
Определить расстояние от точки до прямой
Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n1,n2).
Начинаем построение с n2,т.к. f || П1, n2 ^ f2 (теорема о проецировании прямого угла).
На чертеже нет натуральной величины n, т.к. n(n1,n2) – прямая общего положения
Определяем | n | методом прямоугольного треугольника.
Просмотрите решенные задачи, назовите номера задач, в которых сразу получается "решающее положение", без дополнительных построений. Алгоритм решения написать самостоятельно (Модуль 4).
Задача №86
Построить сферу с центром в точке О, касательную к прямой h.
Если найти точку касания сферы с прямой h(h1,h2) и соединить ее с центром О(О1,О2), то этот отрезок определит радиус R(R1,R2) сферы. Кратчайшее расстояние определяется перпендикуляром, следовательно, проводим R ^ h (R1 ^ h1).
OK = R - прямая общего положения, поэтому на П1 и П2 радиус спроецировался с искажением
Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину R(ОК) Þ О1К0.
Построить проекции сферы, замерив полученное значение R(О1К0).
Задача №87
Через точку М провести прямую n ^ S(h || k)
Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости подробно рассмотрена в Модуле 4, стр. 2,3,4.
n ^ S Þ n1 ^ h1; n2 ^ f2
S - плоскость общего положения, но задана двумя параллельными горизонталями, поэтому сразу можно построить через точку М1 Î n1, n1 ^ h1.
В любом месте построить f(f1,f2), принадлежащую плоскости S, затем через М2Î n2 провести n2 ^ f2
Задача №88
Задачу решить самостоятельно, построив сначала h и f Ì S, затем n1 ^ h1, n2 ^ f2
Задача №89
Определить расстояние от точки М до плоскости S(h Ç f).
Как уже отмечалось (М4 -8), это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.
В данном случае, эта графически сложная задача состоит из трех задач, которые встречались Вам раньше:
1) Из точки М построить n ^ S (задания №87, 88);
2) Найти точку пересечения n Ç S Þ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму);
3) S - плоскость общего положения, следовательно, n - прямая общего положения (М4-2,3).
Методом прямоугольного треугольника найти | n | (задания №82,85,86)
Из точки М провести перпендикуляр к плоскости S: т.е. n1 ^ h1; n2 ^ f2
Построить точку пересечения n Ç S Þ К, 1 ГПЗ 3алгоритм.
Г - плоскость посредник, Г ^^ П2, nÉ Г Þ Г2 = n2
Г Ç S = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ 2 алгоритм,
1121 Ç n1 Þ К1, К Î n Þ К2.
МК - искомый отрезок.
МК - отрезок общего положения. |МК| = М2К0 - натуральная величина.
Задача №90
Определить расстояние от точки М до плоскости S(S2).
Если плоскость S занимает проецирующее положение, то прямая, перпендикулярная ей, является линией уровня (М4-3).
Т.к. S || П2, то n ^ S - фронталь Þ n2 ^ S2; n1 ^ линии связи.
Построить h,f Ì S (задача №27)
Решающее положение для определения расстояния между точкой и плоскостью.
Построить n1 ^ h1, n2 ^ f2
|МК| = М2К2 - натуральная величина расстояния от точки до плоскости.
Задача №91
Построить все множество точек, одинаково удаленных от точек А и В.
Все множество точек, равноудаленных от двух точек (А и В), это плоскость, например, S (DMND), проведенная через середину (точка С Þ АС = СВ) расстояния между ними, S ^ АВ
Соединим точки А и В, разделим пополам графически (циркулем).
Построим через точку С плоскость S(h Ç f), h1 ^ А1В1, f2 ^ A2B2.
Задача №92
Определить расстояние от точки В до прямой а.
В этой задаче нужно построить перпендикуляр к прямой общего положения. (М4 - 4. Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения).
Этапы решения:
1) Из точки В построить S(h Ç f) ^ а (задание №91);
2) Найти точку пересечения а Ç S Þ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму) (задание №89);
3) а - прямая общего положения, следовательно, n (ВК) - прямая общего (М4-4) положения. Методом прямоугольного треугольника найти |ВК| (задания №82,85,86)
Построим плоскость S(h Ç f) ^ а, причем h1 ^ а1; f2 ^a2.
Решить задачу:
S Ç а = К Þ 1 ГПЗ, 3 алгоритм, см. задачу № 89.
ВК - отрезок общего положения. |ВК| = В1К0 - натуральная величина.
Задача №93
Через прямую m провести плоскость Г, перпендикулярную заданной плоскости S.
Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости (М4-5).
В плоскости S построить в любом месте фронталь и горизонталь - h,f Ì (а Ç в)
Построить Г ^ S, Г = m Ç n = K. Через точку К провести n ^ S Þ n1 ^ h1, n2 ^ f2.
Задача №95
Построить конус вращения, если S - его вершина, а точка М принадлежит основанию, расположенному в плоскости S.
Чтобы решить задачу, сначала нужно построить ось вращения конуса i(i1i2) перпендикулярно основанию. Но основание принадлежит S, значит i ^ S, но S ^^ П1, то ось i - прямая уровня (См. задание №90), в данном случае - горизонталь. Следовательно i1 ^ S1; i2 ^ линиям связи Þ О1 и О2.
Провести i ^S Þ точка О. Полученное графическое решение соответствует графическому условию задачи №25, поэтому подробности дальнейшего решения не приводятся.