Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция ( ).

Свойства логарифмической функции:

1.Область определения: .

2.Множество значений: .

3.Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.

4.Периодичность функции: не периодическая.

5.Нули: функция обращается в нуль при x = 1.

6.Промежутки знакопостоянства:

если , то положительна для , отрицательна для ;

если , то положительна для , отрицательна для .

7.Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8.Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для ; если – возрастает для .

9.Асимптоты: прямая x = 0 (ось Oy) – вертикальная асимптота.

10.График функции для изображен на рис.9, а для –на рис. 10.

Рис. 9 Рис. 10

Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда

или

Функция , если , является обратной для функции , при .

Функция , если , является обратной для функции , при .

Пример 1. Определить знак числа:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1. Поскольку основание логарифма больше 1 ( ) и значение, стоящее под знаком логарифма больше 1 ( ), то из свойств логарифмической функции .

2. Для основания логарифма имеем , и для выражения, стоящего под знаком логарифма выполняется . Поэтому .

3. Так как основание логарифма 5 и , а выражение, стоящее под знаком логарифма равно и , то .

4. Для основания логарифма выполняется , а под знаком логарифма число 19 ( ). Поэтому .

Пример 2. Сравнить числа:

1) и ; 2) и ;

3) и 3.

Решение.

1. Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому ,

.

Тогда

.

2. Рассмотрим числа и . Так как

и

, то

, и, следовательно, .

3. Известно, что или ,

если a > 0, b > 0.

В нашем случае , тогда

,

т.е. 3.

Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число .

Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то

,

,

,

,

.

Пример 4. Найти функцию, обратную функции . Построить графики обеих функций в одной системе координат.

Решение. Найдем функцию, обратную данной:

,

,

,

.

,

.

Построим графики функций:

1) строим график функции : график функции переносим параллельно на 2 единицы право по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy;

2) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис.11).

Рис. 11

Задания

I уровень

1.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

1.2. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1.3. Определите знак числа:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.4. Определите, между какими последовательными целыми числами заключается логарифм:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.5. Сравните числа:

1) и ; 2) и ;

3) и ; 4) и ;

5) и ; 6) и .

II уровень

2.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5) 6)

2.2. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5)

2.3. Сравните числа:

1) и ; 2) и ;

3) и ; 4) и ;

5) и ; 6)

7) и ; 8) и .

2.4. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

III уровень

3.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3.2. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

3.3. Сравните числа:

1) и ; 2) и ;

3) и ; 4) и ;

5) и .

3.4. Определите, при каких значениях областью определения функции является вся числовая ось.

3.5. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функции.