РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

«ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ»

Цель: Освоение методики проведения анализа непериодических сигналов, расчета их основных характеристик и изучение свойств преобразования Фурье в применении к определению спектральной плотности основных видов непериодических сигналов.

Краткие теоретические сведения. Для выполнения данной работы необходимо знание следующих основных понятий и формул: прямое и обратное преобразования Фурье и их свойства; модуль и аргумент спектральной плотности; амплитудные и фазовые спектры непериодического сигнала и правила их построения; энергия непериодического сигнала и ее распределение в спектре.

Выражения, определяющие взаимосвязь между функцией сигнала и его спектральной функцией, называются парой преобразований Фурье.

(1)

(2)

Формулы (1) и (2) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Спектральная плотность импульса сигнала обладает всеми свойствами коэффициентов комплексного ряда Фурье. Можно записать:

S(ω) = A(ω) – jB(ω) (3)

;

(4)

Модуль и аргумент спектральной плотности соответственно являются амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками импульсного сигнала, и определяются:

– АЧХ; (5)

– ФЧХ. (6)

В силу своего определения АЧХ является четной функцией частоты, а ФЧХ – нечетной.

Свойства преобразования Фурье:

1. Сдвиг колебания во времени.

. (7)

Сдвиг сигнала по оси времени на произвольную величину t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектральной функции на ωt_0.

2. Изменение масштаба времени.

. (8)

При сжатии колебания в к раз по оси времени во столько же раз расширяется его спектр по оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в к раз. Очевидно, что при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

3. Смещение спектра колебания.

(9)

Умножение исходного сигнала на гармоническое колебание приводит к расщеплению его спектра на две составляющие, смещенные относительно исходного соответственно на ± w₀.

4. Дифференцирование и интегрирование сигналов.

. (10)

Для производной п-го порядка и интеграла данного сигнала соответственно:

; .

Таким образом, операциям дифференцирования и интегрирования по временной области соответствует операция обычного алгебраического умножения в области частотной. При этом дифференцирующие и интегрирующие цепи можно рассматривать соответственно как обострители и сглаживающие фильтры для исходных сигналов.

5. Сложение и умножение двух колебаний.

Поскольку преобразование Фурье является линейным, то для суммы любого количества сигналов S(t) = S₁(t) + S₂(t) + S₃(t) +... их результирующая спектральная плотность будет определяться соответствующей суммой:

S(ω) = S₁(ω) + S₂(ω) + S₃(ω) +... (11)

Для произведения двух сигналов s(t) = u(t) v(t) результирующая спектральная плотность определится интегралом свертки:

(12)

Операция свертки коммутативна, т.е. S(ω) = U(ω)*V(ω) = V(ω)*U(ω).

6. Инверсия аргумента.

Для четных колебаний справедливо следующее правило: если , то .