КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Неопределенный и определенный интегралы.

Функции нескольких переменных. Кратные интегралы.

Криволинейные и поверхностные интегралы.

8.1.1–8.1.10.Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

æ 1

8.1.1. а) ò çç +

è x

1 - x2

ö

+ x4 ÷÷ dx; б)

ø

ò (2x + 1)

dx;

в) ò (x -1)ex dx; г)

ò sin 3 x cos5x dx.

æ 1 ö x

8.1.2. а) ò ç x2+

è

cos2 x

+ 2ex÷ dx; б) ò

ø

x2+ 1

dx;

в) ò (x + 3) cos x dx; г)

ò tg4x

dx.

æ x 1 ö

8.1.3. а) ò ç e

è

-

Sin 2

+ 5÷

x ø

dx; б)

ò sin (2 - 3x) dx;

x4

в) ò ln 4x

dx; г) ò x2+ 1

dx.

æ x 1 ö

x

8.1.4. а) ò ç3

è

+

1 + x2

- sin x ÷ dx; б) ò

ø

x2- 3

dx

dx;

в) ò x sin x dx; г)

ò (2 - x)

.

1 - x

æ 1 ö

8.1.5. а) ò çcos x +

è

4 + x2

- x3÷

ø

dx; б) ò

3x - 2

dx;

в) ò (x + 2) ex dx; г) ò

cos x

1 + cos x

dx.

æ 1 x ö

æ x ö

8.1.6. а) òç9 - x2+ e

- 7÷dx ; б) òsinç5 + 3÷dx ;

è ø è ø

dx

в) ò x cos 3xdx ; г) ò

x + 1 +

.

(x + 1)3

æ 1 ö

1-2 x

8.1.7. а) òçç x +

è

x2+ 9

- sin x ÷÷dx ; б) ò2e

ø

dx ;

в) ò x ln 4xdx ; г) òsin2x cos2xdx .

ø

æ 1 x ö

e x dx

è

8.1.8. а) òçcos x + sin2x + 6

÷dx ; б) ò e2x + 1 ;

в) ò(x - 3)sin xdx ; г)

dx

.

ò (x + 1)(2x - 3)

çç

8.1.9. а) òæ3x2

è

- 4 +

1 + x

ö

2 ÷÷dx ; б) òe

ø

4-8 x

dx ;

в) ò arctgxdx ; г)

ò x2×

1 + x x

dx .

8.1.10. а)

æ

ò

ç 2 +

è

1 - x

+ sin x ö ; б)

2 ÷dx

ø

dx

;

ò cos2 (7x + 5)

3x + 5

в) òln xdx ; г) ò x2+ 8x+ 15dx .

8.2.31–8.2.40.Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

8.2.31. x2+ 2 y = 0,

8.2.32. x2- 2 y = 0,

8.2.33. x2- 2 y = 0,

5x + 2y - 6 = 0 . x - 2y + 6 = 0 . x + 2 y - 6 = 0.

8.2.34. x2- 6 y = 0 ,

x + 6y -12 = 0 .

8.2.35. x2+ 2 y = 0 ,

8.2.36. 2x + y2= 0 ,

8.2.37. 2x - y2= 0 ,

8.2.38. 2x - y2= 0 ,

8.2.39. 6x - y2= 0 ,

8.2.40. x + y2= 0 ,

2x - y - 3 = 0 .

2x + 5y - 6 = 0 .

2x - y - 6 = 0 .

2x + y - 6 = 0 .

6x + y -12 = 0 .

x - 2y + 3 = 0 .

9.1.11–9.1.20.Найти производные функции двух переменных.

9.1.11. ¶z ,

¶x

¶z , если

¶y

z = u sin(u + v) , где

u = y ,

x

v = 3x - y .

9.1.12. ¶z ,

¶x

¶z , если

¶y

z 2 x3y - zy - x + y +1 = 0 .

9.1.13. ¶z ,

¶x

¶z , если

¶y

z = vtg(u - v) , где

u = y 2 - x2 ,

v = x y .

9.1.14. ¶z ,

¶x

¶z , если

¶y

z = v cos(u - v),

где

u = y + x2,

v = xy .

9.1.15. ¶z ,

¶x

¶z , если

¶y

z 2

ye x

- z 3 y + x - 2 y - 10 = 0 .

9.1.16. ¶z ,

¶x

¶z , если

¶y

z = u sin(u 2 - v2) , где

u = x2 + y 2 ,

v = x - 2y .

9.1.17. dz, если z =

dx

u sin(u - v2) , где

u = e2x ,

v = 2x ln x .

9.1.18. ¶z ,

¶x

¶z , если

¶y

x+ y

xe z

- xyz-10x+ z 2 - 2 = 0 .

9.1.19. ¶z ,

¶x

¶z , если

¶y

z = 2u sin(

u u + v

) , где

u = ex-y ,

v = y .

x

9.1.20. ¶z ,

¶x

¶z , если

¶y

z = u 2

3 u - v

где

u = x + 2 y ,

v = xy .

9.1.51–9.1.60.Расставить пределы интегрирования в повторном

интеграле для двойного интеграла

интегрирования.

òòf (x, y)dxdy

D

и изменить порядок

9.1.51. D :

9.1.52. D :

y = 0 ;

y = 2x ;

y = x2;

y = 2(x - 2)2;

y = 2 - x .

y = 0 .

9.1.53. D :

9.1.54. D :

y = 2 - (x -1)2 ;

y2 = x ;

y = 1 - x .

x + y - 2 = 0 .

9.1.55. D :

9.1.56. D :

9.1.57. D :

9.1.58. D :

9.1.59. D :

y = 0 ; y2 = x ; y2 = x ;

y = 1 - x2;

y = 1–х2;

y = (x + 1)2; x = (y - 2)2; x = (y - 2)2;

y = 1 - (x - 2)2;

y = 1–(х–2)2;

y = (x -1)2 .

x = 0 . y = 0 . y = 1 .

y = 0,5.

9.1.60. D :

y = (x + 2)2 ;

y = 1 - x ;

y = 0 .

2 2

10.1.1–10.1.10.Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж дуги кривой L.

10.1.1. ò

L

x 2 + 1

dx +

y + 1

x - y dy , где L – отрезок прямой от точки (1; 0) до точки

x + 1

(2;1).

x 2 x + 2 y

L

10.1.2 . ò y + 2 dx +

dy , где L – отрезок прямой от точки (1;1) до

3x + 1

точки (2;2).

10.1.3. ò

L

y 2 + 1

dx +

x + 1

x + 1 - y

dy , где L – дуга кривой y = ln(x +1) от точки

(0; 0) до точки (e – 1;1).

y 2 -1 1

10.1.4. ò

dx + dy , где L – дуга кривой y = x 2

x + 1 x

от точки (1;1) до точки

L

(2;4).

10.1.5. ò ( y 2 - x)dx + (x2- y)dy , где L – верхняя половина окружности

L

x = sin 2t, y = cos 2t. Интегрировать против часовой стрелки.

10.1.6.

ò

( y -1)dx + 1 dy , где L – дуга кривой y = x 2

L x y

от точки (–1;1) до точки

(–2; 4).

10.1.7. ò y 2 dx + x2dy , где L – верхняя четверть окружности x = 2sin t,

L

y = 2cos t. Интегрировать против часовой стрелки.

10.1.8. ò

L

x 2 + 1

dx +

y + 1

x - y dy , где L – отрезок прямой от точки (1; 0) до точки

x + 1

(2; 1).

10.1.9. ò

L

y -1

x

dx +

x -1 y

dy , где L – дуга кривой y = x 2

от точки (1; 1) до

точки (2; 4).

10.1.10. ò ( y - x)dx + (x - y)dy , где L – верхняя половина эллипса x = 3sin 2t,

L

y = 4cos 2t. Интегрировать против часовой стрелки.