Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой

y
M1(x1,y1)
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Найти расстояние d от данной точки М1(x1,y1) до данной прямой l Ax+By+C=0 можно по формуле (рис. 4):

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru

l
d
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru d= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru (7)

M2(x2,y2)
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru
x
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Точка М2(x2,y2) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М1(x1,y1) на прямую. Угловой коэффициент прямой М1М2 равен Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru .

Координаты точки М2(x2,y2) находим из Рис. 4

решения системы уравнений

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru (8)

Введем замену: u = x2 - x1; v = y2 - y1. Тогда (7) и (8) можно записать в виде

d= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ; (9)

Au + Bv + Ax1 + By1 + C = 0;

Au - Bv = 0.

Решая систему из двух последних уравнений, находим

u = - Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ;

v = - Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru .

Подставив эти значения в (9), получим

d= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . (10)

Пример 8. Найти расстояние от точки М(1,-2) до прямой 3x-2y-9 = 0.

Решение. Искомое расстояние находится по формуле (10):

d= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . ■

2[кроме ФЭУ]. Кривые второго порядка.

Уравнение вида

Ax2+ Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, (11)

если хотя бы одна из трех величин A, B или C не равна нулю, называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, - кривой второго порядка. Частными случаями линий, определяемых общим уравнением (11), являются окружность, эллипс, гипербола и парабола.

2.1 . Окружность.

Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке М0(x0,y0). Найдем ее уравнение. Для любой точки М(x,y), принадлежащей окружности, расстояние от центра до этой точки постоянно и равно радиусу окружности R, то есть ММ0=R (для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет). Из формулы для определения расстояния между двумя точками следует R= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru (рис. 5).

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид:

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru

y
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . (12)

M0
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Если центр окружности лежит в начале координат, то x0= y0= 0, а уравнение окружности приобретает вид x2 + y2 = R2.

x
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Пример 9. Составить уравнение окружности радиуса 4 с центром в точке

М0(0,-3).

Рис. 5

Решение. В данном случае x0 = 0, y0 = -3,

R= 4, поэтому уравнение окружности имеет вид Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . ■

Пример 10. Выяснить геометрический смысл уравнения x2+y2+6x-2y+5=0.

Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты: (x2+6x+9)+(y2-2y+1)+5-9-1=0. Отсюда Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . Таким образом, данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиуса R= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru с центром в точке (-3,1). ■

2.2. Эллипс.

Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2а.

Если оси декартовой системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат на расстоянии 2с друг от друга, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет простейший вид

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . (13)

Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (оно может быть получено путем несложных алгебраических преобразований из равенства MF1+ MF2 = 2a). Здесь а - большая полуось, b- малая полуось эллипса; фокусы F1 и F2 находятся на расстоянии с = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru от центра эллипса О (при этом предполагается, что a > b). Отношение Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru =e называется эксцентриситетом эллипса (e < 1).

M(x,y)
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru
-a
a
y
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Если М(x,y) - произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 и MF2 (рис. 6) называются фокальными радиусами точки M и определяются по формулам

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru MF1 = a+e x, MF2 = a- e x. (14)

-b
Замечание. Если a = b, то уравнение (13) определяет окружность, рассматриваемую как

частный случай эллипса. При этом Рис. 6

эксцентриситет окружности e = 0.

Пример 11. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки М1(4,- Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ) и М2(2 Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ,3), а также найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса.

Решение. Подставляя координаты точек М1 и М2 в уравнение (13), получаем систему двух уравнений:

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru .

Решая эту систему находим полуоси a= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru и b= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . Искомое уравнение эллипса Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . Находим, далее, с = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru и расстояние между фокусами 2с =2 Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . Эксцентриситет эллипса e = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru =0,5. ■

Пример 12. Убедившись, что точка М(-4; 2,4) лежит на эллипсе Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , определить фокальные радиусы точки М.

Решение. Подставляя координаты точки М в уравнение эллипса Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , получаем верное равенство, доказывающее, что М - точка эллипса. Фокальные радиусы точки М находим по формулам (14), полагая a=5, b=4, с = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru =3, e = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru :

MF1 = a+ex = 5+ Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ×(-4) = 2,6; MF2 = a-ex = 5- Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ×(-4) = 7,4. ■

2.3. Гипербола.

Гиперболой называется линия, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2а.

В системе координат, изображенной на рис. 7, уравнение гиперболы имеет простейший вид

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , (15)

называемый каноническим уравнением гиперболы.

F2 y
F1 y
-a
a y
-b y
b y
y
x
M(x,y)
Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru Уравнение (15) получено из равенства | MF1- MF2 | = 2a. Здесь а называется действительной полуосью, b - мнимой полуосью гиперболы; фокусы F1 и F2 находятся на расстоянии с = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru от центра гиперболы О (при этом а может быть как больше, так и меньше b). Отношение Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = e называется эксцентриситетом гиперболы (e > 1).

Прямые y = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru x и y = - Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru x называются асимптотами гиперболы; при неограниченном продвижении точки М(x,y) вдоль гиперболы в бесконечность расстояние от М до соответствующей асимптоты стремится к нулю.

Расстояния от любой точки М(x,y) гиперболы до ее фокусов F1 и F2 - фокальные радиусы точки М - определяются по формулам:

MF1 = |e x + a|, MF2 = |e x - a|. (16)

Две гиперболы, заданные уравнениями

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru

в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Пример 13. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки М1(6,-1) и М2(-8,2 Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ), и найти ее асимптоты.

Решение. Подставляя координаты точек М1 и М2 в уравнение (15), получаем систему двух уравнений относительно неизвестных полуосей гиперболы a и b:

Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru .

Из этой системы находим а2 = 32, b2 =8. Таким образом, действительная полуось гиперболы a= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , а мнимая полуось b= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . Искомое уравнение гиперболы Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . Асимптоты определяются по формуле y = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru x = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru x = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . ■

Пример 14. Найти координаты фокусов гиперболы Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , а также расстояния от точки М(-5, Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ) до фокусов гиперболы.

Решение. Имеем с = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , так что расстояние между фокусами равно 2с = 10, а координаты фокусов F1(-5,0) и F2(5,0).

Точка М(-5, Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ) принадлежит гиперболе (в чём легко убедиться подстановкой её координат в уравнение гиперболы), поэтому искомые расстояния до фокусов вычисляем по формулам (16), полагая в них a = 4, эксцентриситет e = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru : MF1 =| Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ×(-5) + 4| = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ; MF2 =| Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ×(-5) - 4| = Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . ■

Замечание. Если в уравнении (15) a = b, то гиперболу в этом случае называют равнобочной; ее уравнение имеет вид x2 - y2 = а2; асимптоты y = x и y = - x взаимно перпендикулярны; эксцентриситет равен Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . Если взять асимптоты равнобочной гиперболы в качестве новых осей координат, то в такой системе координат Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru гипербола представляет собой график обратной пропорциональной зависимости с уравнением Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru , где k= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru .

2.4. Парабола.

Параболой называется линия, для каждой точки которой расстояние до фиксированной точки F (фокуса) равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние FС = р от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой, так что FО=ОС= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru (рис. 8).

y
       
  Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru
    Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru
 
y

K

M(x,y)

           
  Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru
    Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru
 
    Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru
 
-p/2
x
F y

x

-p/2

А) Рис. 8 б)

В этой системе координат парабола будет определяться уравнением

y2 = 2px.(17)

Уравнение (17) называется каноническим уравнением параболы (оно получается из равенства FМ=МК). В этой же системе координат фокус данной параболы F( Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ,0), а директриса имеет уравнение x= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . Фокальный радиус произвольной точки М(x,y) параболы (то есть длина отрезка FМ) может быть вычислен по формуле MF = x + Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru .

Уравнение x2 = 2py или же y = аx2 (где а= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ), так же как и уравнение (17) представляет параболу, только в этом случае ось параболы совпадает с осью ординат и парабола расположена так, как показано на рис. 8(б). Её фокус F(0, Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru ), а директриса имеет уравнение y= Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой - student2.ru . Если в уравнении y=аx2 коэффициент а отрицателен, то ветви параболы направлены вниз.

Пример 15. Составить уравнение параболы, проходящей через начало координат, точку М(1,-2) и симметричной относительно оси абсцисс; написать уравнение директрисы; найти фокальный радиус точки М.

Решение. Подставив координаты точки М (x = 1, y = -2) в уравнение y2 = 2px, получим 4=2p×1, р=2, так что уравнение параболы y2 = 4x. Уравнение директрисы x = -1. Фокальный радиус MF =1+ 1 =2. ■

Наши рекомендации