О. Матрица, полученная с помощью элементарных преобразований, эквивалентна исходной матрице

Литература

Б. М. Владимирский, А. Б. Горстко, Я. М. Ерусалимский. Математика. Общий курс. Учебник

Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике

Т.В. Клодина, Н.С. Задорожная, Н.В. Данилова. Типовой расчет по математике. Учебно-методическое пособие

Шнейдер В., Слуцкий А., Шумов А. Курс высшей математики. В 2 книгах. Книга 1, 2. Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Мир и образование Москва. 2009г. ЭБС «КнигаФонд»

Лекция 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТРИЦЫ

Определение (О). Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.Обозначение:

Или А = (а_ij ),

где i = , i — номер строки, j = , j — номер столбца.

– матрица размера m х n.

а_ij– элементы матрицы.

О. Матрицы А = (а_ij ) и В = (b_ij ) равны А = В, если

а_ij = b_ij , где i = , j= .

Матрица называется квадратной, если m = n.

- матрица n-го порядка. Элементы а_ii образуют главную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов глав­ной диагонали, равны нулю, называется диагональной:

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример 1.

— единичная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

, B = (b₁ b₂ ... b_n ).

Матрица размера 1 x 1, состоящая из одного числа, отождествляется

с этим числом, т. е. (5)_1x1 есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом

с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной.

Обозначается А^Т.

Примеры: , , если , то .

О. Суммой матриц и называется матри­ца такая, что ( , ).

Аналогично определяется разность матриц.

Пример.

О. Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что ( , ).

Разность матриц А – В можно определить так: А – В = А + (–1)В.

Пример.

Свойства введенных операций

А, В, С, О – матрицы размера m х n, .

1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С;

3. А + О = А; 4. А – А = О;

5. 1 · А = А; 6. α · (А + В) = αА + αВ;

7. (α + β) · А = αА + βА; 8. α · (βА) = (αβ) ·А,

О.Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

3) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

О. Матрица, полученная с помощью элементарных преобразований, эквивалентна исходной матрице.

Обозначение эквивалентности: А ~ В.

О. Произведением на называется матрица такая, что

, где , ,

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют, в общем случае АВ ≠ ВА. Легко показать, что , где А – квадратная, Е – единичная матрицы одного порядка.

Примеры.