Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли

Линейное ДУ 1-го порядка: y+p(x)y=g(x)

Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru общее решение

Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru Ур. Бернулли

При n=0 –линейное, при n=1 – с разделяющимися переменными.

Уравнения в полных дифференциалах

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x;y), т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y). В этом случае ДУ можно записать в виде du(x;y)=0, а его общий интеграл будет u(x;y)=с. Для того чтобы выражение P(x;y)dx+Q(x;y)dy, где функции P(x;y) и Q(x;y) и их частные производные Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru и Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru непрерывны в некоторой области D, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия: Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru = Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru .

Интегрирующий множитель

Функция μ(x;y) называется интегрирующим множителем для уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0, если уравнение μ(x;y)P(x;y)dx+μ(x;y)Q(x;y)dy=0 есть уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru

Если Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru (не зависит от y), то Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru . Если Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru (не зависит от x), то Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru .

ДУ высших порядков, задача Коши. Общее, частное решение. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка: F(x;y;y;y’’)=0 или y’’= F(x;y;y). Общее решение ДУ – функция y= Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru , где Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru произвольные постоянные. Решение y= Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru , получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянной называется частным решением. Задача нахождения решения ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Если в уравнении y’’= F(x;y;y) функция F(x;y;y) и ее частные производные Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru непрерывны в некоторой области D то для всякой точки (x0;y0;y0) принадлежащей D существует единственное решение y= Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru , удовлетворяющее начальным условиям.

Уравнения допускающие понижение порядка

Один из методов интегрирования ДУ высших порядков – метод понижения порядка. Суть метода в том, что с помощью замены переменных данное ДУ сводится к ДУ порядок которого ниже. 3 типа уравнения допускающих понижение порядка: y’’=f(x) y’’=f(x, y) y’’=f(y, y)

Линейные ДУ высших порядков. Т. о существовании и единственности решения задачи Коши. Т. о св-ве решений ЛОДУ

Ур-е Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru + …+ Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru наз-ся ЛНДУ n-го порядка.

Если f(x)=0, то ур-е наз-ся ЛОДУ n-го порядка. З.Коши для ЛДУ определяется начальными условиями:

Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если все коэф-ты Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru и f(x) непр-ы на [a,b], то на всем этом отрезке сущ-т единственное реш--е з.Коши.

Теорема о свойстве решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

1) Если Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru явл-ся реш-ми ЛОДУ, то ф-я Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru также яв-ся реш-м ЛОДУ при Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru

2) Если комплекснозначная ф-я Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru яв-ся реш-м ЛОДУ, то ф-и Линейные ДУ 1-го порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru в отдельности также явл-ся реш-и ЛОДУ.

Наши рекомендации