Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядка
Квадратная матрица называется обратной по отношению к матрице
, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу приводит к единичной матрице.
Если , то матрица называется невырожденной.
Теорема. Любая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную ей матрицу.
Нахождение обратной матрицы называется обращением данной матрицы.
Для обращения матрицы можно воспользоваться формулой:
, где
Например, обратить матрицу второго порядка .
Решение.
Вычисляем определитель данной матрицы:
Находим алгебраические дополнения элементов:
Составляем союзную и обратную матрицы
,
Проверка:
Матричные уравнения и их решения.
Определение: Уравнение вида AX=B называется матричным.
Для решения матричного уравнения обе части уравнения умножаются слева на матрицу , то есть
;
;
Систему n линейных уравнений с n переменными
можно перевести в матричное уравнение AX=B, где А – матрица коэффициентов при переменных; Х – матрица – столбец переменных; В – матрица – столбец свободных членов.
Решив составленное матричное уравнение, то есть вычислив элементы матрицы Х, тем самым получаем решение данной системы.
Например, решить систему матричным методом.
Решение:
Обозначим ,
,
1. следовательно матрица имеет обратную.
2.
Из алгебраических дополнений составим матрицу
3. Транспонируем матрицу :
4. Вычислим обратную матрицу по формуле:
5. Вычислим матрицу
, то есть решение системы (4; 2; 1).
Ответ: (4; 2; 1).
В конце решения системы (любым способом) рекомендуется сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедится в том, что они обращаются в верные равенства.
Элементы аналитической геометрии
Координаты вектора в пространстве.
Действия над векторами в координатной форме
Пусть M(x; у; z) – координаты точки в пространстве.
Выберем: – единичные векторы на соответствующих осях координат:
Всякий вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов :
,
где – координаты вектора в пространстве.
Длина вектора вычисляется по формуле
.
Рассмотрим две точки пространства: и
.
Найдем координаты вектора :
Таким образом, – координаты вектора
Длина вектора
определяется по формуле
.
Справедливо следующее утверждение:
пусть и
тогда
,
,
.
Пример 1.
Найти расстояние между точками А и В, если известно, что А(–2;3;1) и В(2;1;5).
Решение:
1. Найдем координаты вектора :
2. Вычислим длину вектора :
Ответ: 6.
Пример 2.
Найти длину вектора если
.
Решение:
1. Обозначим:
2. Найдем координаты вектора
3. Найдем координаты вектора
4. Вычислим длину вектора
Ответ: 3.