Теоремы Ферма и Ролля

Теорема Ролля.Если функция непрерывна в замкнутом интервале , дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала и, кроме того, на концах интервала принимает одинаковые значения, то в этом интервале найдётся хотя бы одна точка в которой значение производной обращается в нуль.

Доказательство.Если функция не изменяется, т. е. остаётся постоянной ( ), то и теорема для этого случая доказана. Пусть теперь функция с изменением изменяется. Пусть, например, начиная от точки с увеличением значение увеличивается, как показано на рис. 60. Тогда значение функции не является наибольшим ее значением на следова-тельно, потеореме 1 своё наибольшее значение функция примет в некоторой точке лежащей внутри интервала Следовательно, значение будет наибольшим значением функции в интервале т. е. для всех из

Теорема Ролля будет доказана, если мы покажем, что в точке в которой функция принимает наибольшее значение в интервале производная обращается в нуль. Таким образом, доказательство свелось к доказательству следующего утверждения.

Теорема Ферма.Если дифференцируемая в интервале функ-ция принимает в точке ( ) своё наибольшее значение в то в этой точке производная обращается в нуль, т. е.

Доказательство. Возьмём точку лежащую достаточно близко к точке считая, что – величина малая. Эта точка лежит правее при и левее при Так как есть наибольшее значение функции в интервале то ясно, что как для так и для , что можно переписать в виде для всех и Это неравенство умножим на число , положительное при и отрицательное при При этом знак неравенства не изменится при и изменится на обратный при . В результате получим

В этих неравенствах перейдём к пределу при и согласно теории пределов (теорема 15 главы 4) будем иметь

По условию теоремы функция дифференцируема во всех внутренних точках интервала и в точке Это значит, что существует производная Но производная равна пределу, входящему в предыдущие неравенства. Этот предел является обычным двусторонним и существует независимо от знака . Следовательно, в двух предыдущих неравенствах пределы одинаковы и равны Поэтому предыдущие неравенства можно переписать так: при при Неравенства должны выполняться одновременно, а это возможно, если Теорема Ферма доказана, а вместе с ней доказана теорема Ролля.

Условие геометрически означает, что касательная к кривой в её точке с абсциссой параллельна оси В самом деле, вычисляемая в точке производная равна тангенсу угла наклона к оси абсцисс касательной к кривой в её точке с абсциссой Если эта производная равна нулю, то и т. е. касательная параллельна оси

30. Теоремы Коши и Лагранжа

Теорема Коши. Если функции и непрерывны в замкнутом интервале и дифференцируемы во всех внутренних точках этого интервала, причём всюду в этом интервале то в найдется хотя бы одна точка ( ), для которой справедлива формула

(3)

Доказательство.Возьмём функцию

(4)

Она удовлетворяет следующим условиям:

· непрерывна на действительно, непрерывна в этом интервале по условию, поэтому произведение дроби и также есть непрерывная функция на этом интервале согласно теореме о произведении непрерывных функций;

· разность, стоящая в правой части (4), – непрерывная функция согласно теореме о разности непрерывных функций;

· дифференцируема во всех внутренних точках интервала и имеет производную

(5)

где производные и существуют согласно условию теоремы;

· значения функции на концах равны, т. е. Чтобы непосредственно убедиться в этом, надо подставить в (4) сначала затем и сравнить выражения.

Таким образом, функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, согласно которой на интервале найдется хотя бы одна точка в которой Это значит, что выражение (5) при обращается в нуль, т. е.

Учтя, что по условию теоремы, и поделив последнее соотношение на придём к формуле (3).

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна в замкнутом интервале и дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала, то в найдется хотя бы одна точка ( ), для которой справедлива формула

(6)

Доказательство.Кроме функции указанной в теореме, возьмём ещё одну функцию Она дифференцируема всюду в интервале , так как имеет производную причём Кроме того, Таким образом, эта функция вместе с функцией удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Запишем формулу (3) для этих функций: Здесь Умножив это соотношение на , получим (6). Теорема доказана.

31. Правило Лопиталя

Теорема.Пусть функции и одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при ( – заданное число) или при Если при этом отношение производных имеет предел, то отношение функций также имеет предел, равный пределу отношения производных, т. е.

(7)

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда при обе функции имеют пределы, равные нулю, и непрерывны в точке , т. е. В теореме говорится о пределе отношения производных и при Это означает, что указанные производные мы предполагаем существующими всюду вблизи как слева, так и справа.

Возьмём интервал , считая, что – некоторое фиксированное значение, достаточно близкое к Тогда в этом интервале, включая всюду существуют производные и Следовательно, в интервале функции и являются непрерывными, поскольку они дифференцируемы. Кроме того, функции непрерывны и в точке Таким образом, функции и непрерывны в замкнутом интервале и дифференцируемы всюду внутри него. Дополнительно предположим, что нигде в этом интервале не обращается в нуль (это предположение является естественным, т. к. в формуле (7) стоит в знаменателе). Таким образом, эти две функции удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Поэтому для них и интервала справедлива указанная теорема, когда в ней и Итак,

Но и Следовательно, эта формула примет вид

(8)

Согласно условию теоремы существует предел отношения производных Отсюда согласно определению предела заключаем, что существует и предел Этот предел будет равен предыдущему, и получим

(9)

В соотношении (8) перейдём к пределу, когда и учитывая, что предел правой части существует. Тогда будет существовать и предел левой части, равный первому:

(10)

Сравнив формулы (9) и (10), придем к формуле (7). Теорема для указанного случая доказана. Случай, когда приводится к рассмотренному заменой при этом Доказательство, когда , , опускаем.