Решение системы линейных уравнений (61-70)
А. Метод Гаусса.
Пример.Решить методом Гаусса систему уравнений
Используя первое уравнение, исключим вначале из второго и третьего уравнений. Для этого сложим первое уравнение, умноженное на -1, со вторым, умноженным на 2. Затем первое уравнение, умноженное на -2, сложим с третьим уравнением.
Получим
Исключим из третьего уравнения , складывая второе уравнение, умноженное на 27, с третьим, умноженным на 13:
Теперь последовательно находим и
:
,
,
;
,
,
.
Ответ: ,
,
.
Б. Матричный способ.
Рассмотрим вначале действия над матрицами.
Матрицей размером называется таблица чисел, содержащая
строк и
столбцов.
Если , то получаем квадратную матрицу
го порядка.
При умножении матриц каждая строка первой матрицы умножается на каждый столбец второй.
При умножении строки на столбец перемножаются их первые элементы, вторые и т.д. и результаты складываются. Поэтому можно умножать только такие матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Примеры.
,
.
Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице
, если
.
Покажем, как найти обратную матрицу .
Пусть
.
а) .
Так как , то
существует.
б) Пусть - элемент матрицы
, расположенной в
-й строке и
-м столбце. Если в определителе
вычеркнуть строку и столбец с элементом
, то получим дополнительный минор
элемента
. Это определитель 2-го порядка.
Составим матрицу из дополнительных миноров
элементов матрицы
:
.
в) Составим матрицу из алгебраических дополнений
элементов
.
|
![Решение системы линейных уравнений (61-70) Решение системы линейных уравнений (61-70) - student2.ru](/images/matematika/reshenie-sistemy-lineynykh-uravneniy-61-70-427791-51.gif)
.
г) Транспонируем матрицу , т.е. строки поменяем местами со столбцами:
.
Обратная матрица определяется формулой
,
.
Покажем, как решается система уравнений матричным способом.
Пример. Решить систему
Решение.Обозначим:
,
,
.
Получаем матричное уравнение .
Его решение , т.е.
.
Ответ:
Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования (71-80)
Пусть
,
.
Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования, заданного матрицей А, если
,
где – собственное значение, находящееся из характеристического уравнения
,
или
.
Раскрываем определитель по элементам первой строки:
,
,
, т.к.
;
.
Составим систему уравнений для координат собственного вектора
. Коэффициентами при неизвестных будут элементы определителя при
:
Полагаем , тогда
,
.
2 собственный вектор с собственным значением
.