Бесконечно малые функции и их основные свойства

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru или бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru Примеры.

  1. Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru (см. рис.).
  2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
  3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
  4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru .

Обратно, если бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

  1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a,при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru .
  2. Если бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru и бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдетсяδ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2.

Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru и бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru , то бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru .

Следствие 2. Если бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru и c=const, то бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

Пусть f1 (x) и f 2 (x) бесконечно малые величины при бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru ,
т.е. бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru и бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru .

1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru . (4.17)

2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru . (4.18)

3. Произведение бесконечно малой величины на константу С или на функцию, имеющую конечный предел бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru , есть величина бесконечно малая:

бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru . (4.19)

Пусть бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru и бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru бесконечно большие величины при бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru ,
т.е. бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru и бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru .

1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru . (4.20)

2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru . (4.21)

3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru , есть величина бесконечно большая:

бесконечно малые функции и их основные свойства - student2.ru (4.22)

Наши рекомендации