Нормальное уравнение прямой на плоскости
Рассмотрим произвольную прямую. Восстановим из начала координат
вектор нормали
к данной прямой и единичный вектор
, направление которого совпадает с направлением вектора
. Пусть
(если прямая проходит через начало координат, то
). Пусть
- угол между вектором
и осью абсцисс (в случае, когда
в качестве
можно взять любое значение). Так как
- единичный вектор, то его координаты, равные его проекциям на координатные оси, имеют вид:
.
Очевидно, что точка лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда проекция вектора
на ось, определяемую вектором
, равна
. Так как
, то получаем
.
Следовательно, уравнение прямой может быть записано в виде:
или
.
Такое уравнение называется нормальным уравнением прямой.
Рассмотрим произвольную точку . Пусть
- расстояние от этой точки до прямой
. Отклонением
точки
от этой прямой называется расстояние
, взятое со знаком плюс, если эта точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и взятое со знаком минус, если эта точка и начало координат лежат по одну сторону от прямой.
Выясним геометрический смысл левой части нормального уравнения. Спроектируем произвольную точку на ось, определяемую вектором
. Пусть
- полученная проекция, а
- точка пересечения прямой
с данной прямой. Очевидно, что отклонение точки
от данной прямой равно величине вектора
. Соответственно получаем:
.
Кроме того,
.
Следовательно,
.
Таким образом, получаем правило: для нахождения отклонения точки от данной прямой следует в левую часть нормального уравнения этой прямой подставить координаты этой точки.
Выясним, как из общего уравнения получить нормальное уравнение. Пусть дано уравнение
.
Найдем множитель , при умножении на который общее уравнение превратится в нормальное. При этом должно выполняться:
.
Возводя в квадрат первые два равенства и затем, складывая их, получим
,
откуда
.
Так как расстояние всегда неотрицательно, то из третьего равенства системы заключаем, что знак
должен быть противоположен знаку
. Итак, для приведения общего уравнения к нормальному виду следует умножить его на нормирующий множитель, определяемый равенством
, при этом знак в последней формуле выбирается противоположным знаку коэффициента
. В соответствии с этим получаем формулу для нахождения расстояния от точки
до прямой
:
.
Пример.Написать уравнение прямой, проходящей через точки и
. Привести это уравнение к нормальному виду и выяснить пересекает ли эта прямая отрезок, соединяющий точки
и
.
∆ Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через заданные две точки:
.
Умножив на число 12 обе части полученного уравнения, получим общее уравнение:
.
Для приведения его к нормальному виду найдем нормирующий множитель, выбрав его знак, противоположный знаку коэффициента :
.
Умножив на этот множитель, получим нормальное уравнение рассматриваемой прямой:
.
Чтобы выяснить, пересекает ли эта прямая отрезок, соединяющий точки и
, найдем отклонения этих точек относительно этой прямой, подставив их координаты в левую часть нормального уравнения:
,
.
Так как отклонения точек и
имеют противоположные знаки, то они лежат по разные стороны относительно данной прямой. Таким образом, эта прямая пересекает отрезок, соединяющий указанные точки. ▲