Частные производные высших порядков

Пусть функция имеет первые частные производные в точке и в каждой точке некоторой окрестности точки . Тогда частные производные от частных производных называются частными производными второго порядка от функции в точке . Частные производные второго порядка обозначаются ; ;

; .

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е. . Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.

Пример №19 Найти вторые частные производные функции .

Решение:

Вначале находим частные производные первого порядка:

; .

Далее находим

;

.

Пример №20 Проверить, что , если .

Решение:

Находим ; .

Далее, ; . Очевидно, что .

Задания:

1. Найти вторые частные производные от заданных функций:

а) ;

b) ;

c) .

2. Проверить, что для функций:

а) ;

b) ;

c) .

3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

.

Экстремум функции двух переменных

Функция имеет максимум ( минимум) в точке если для любой точки , находящейся в некоторой - окрестности точки , выполняется условие ;

- окрестность можно представить множеством точек , координаты которых удовлетворяют условию , где – положительное достаточно малое число.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а - экстремальной точкой.

Необходимое условие экстремума: Если - дифференцируемая функция и достигает в точке экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю: .

Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в ноль (или не существуют), называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.

Пусть - стационарная точка функции . Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке : , а затем дискриминант Тогда достаточные условия экстремума функции запишутся в следующем виде:

1) – экстремум есть, при этом, если ( или ), в точке функция имеет минимум, а если ( или ) – максимум;

2) – экстремума нет;

3) – требуются дополнительные исследования.

Условный экстремум

Рассмотрим функцию , определенную и дифференцируемую в области , координаты точек которой удовлетворяют системе уравнений связи . В этой области нужно найти такую точку , чтобы выполнялось условие . Такие задачи называются задачами отыскания условного экстремума функции .

Для отыскания условного экстремума исследуется на обычный экстремум функция Лагранжа .

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

Из этой системы уравнений с неизвестными находят значения неизвестных . Числа называются коэффициентами Лагранжа.

Пример №21 Найти экстремумы функции при условии .

Решение:

Составляем функцию Лагранжа: .

Находим частные производные и составляем необходимые условия экстремума функции Лагранжа:

В данном случае .

Для исследования на экстремум в полученных критических точках вычисляем значения

и составляем определитель:

.

Если , то имеет в точке условный максимум, если – условный минимум.

Итак, , следовательно, в точке условный минимум,

, следовательно, в точке условный максимум, .

Задания:

1. Найти экстремумы функций

а) ;

b) ;

c) .

2. Найти условные экстремумы функций:

а)

b) при ;

c) при

Типовые примеры.

Задание 1.

Найти область определения функции z= и её частные производные.

Решение.

Областью определения функции z= является множество точек плоскости, за исключением точек, удовлетворяющих равенству 6-х+у=0; т.е. точек, лежащих на прямой у=х-6.

Найдём частные производные функции z. При нахождении z’x функция z дифференцируется по х, в предположении, что у=const.

z’x=

При нахождении z’y функция z дифференцируется по у, в предположении, что х=const

z’y=

Задание 2.

Дана функция z=х у+х . Показать, что х

Решение.

Найдём частные производные функции z.

Подставим найденные производные в заданное выражение.

Х

x(у+е +у(х+е

ху+хе

2ху+хе

2ху+хе

Задание 3.

Найти частные производные и частные дифференциалы функции z=ctg

Решение.

Найдём частные производные:

;

Найдём частные дифференциалы.

dz =

dz

Задание 4.

Вычислить значения частных производных f' f’ , f’ в точке М (1; для функции

f' = =-

f’ ;

f’ ;

f' (М ;

f' (М ;

f' (М

Задание 5.

Найти полный дифференциал функции z=ln(х cos 2y)

Решение.

Полный дифференциал функции определяется формулой

dz=

Найдём частные производные функции

Полный дифференциал

dz=

Задание 6.

Вычислить значение производной сложной функции z= , где х=е ; у=2-е , при t =0.

Решение.

Производная сложной функции z=z(х;у), где х=х(t); у=у(t) может быть вычислена по формуле

Найдём все производные:

Тогда

Найдём значение производной в точке t

Задание7.

Вычислить значения частных производных неявной функции

е в точке М ( ;

Решение.

Если функция z задана неявно, т.е. в виде уравнения F(x;у;z)=0, то частные производные этой функции могут быть заданы по формулам:

;

Нам задана неявная функция

е

F F F

Следовательно

Найдём производные в точке М ( ;

Задание 8.

1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

S: z= в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в явной форме z=f(x,у), то уравнение касательной плоскости в точке М имеет вид

z- .

Уравнение нормали

Найдём частные производные данной функции и их значения в точке М

f (f

f (f

Отсюда, применяя формулы, будем иметь

z-1=2(x-2)+2(y+1) или 2х+2у-z-1=0 – уравнение касательной плоскости и

- уравнение нормали.

1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в неявной форме F (x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости и нормали будут иметь вид

Найдём частные производные функции F (x,y,z) и их значения в точке М

Следовательно уравнение касательной плоскости:

-12(х-0)+0(у-2)-12(z+2)=0 или х+z+2=0

Уравнение нормали

или

Задание 9.

Найти градиент функции Z= в точке М

Решение.

Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции.

=

Найдём частные производные функции z и их значения в точке М

= 1

Следовательно, gradz=2

Задание 10.

Исследовать на экстремум функцию z=

Решение.

Найдём частные производные:

Используя необходимое условие экстремума:

Составим систему уравнений

Решив эту систему найдём четыре стационарные точки.

Стационарные точки М (-2;-1); М (2;1); М (-1;-2); М (1;2)

Найдём производные второго порядка

=6у;

И составим дискриминант ∆=А для каждой стационарной точки

1) Для точки М : А= ; В= ; С=

∆=А .

В точке М функция имеет максимум, равный z =-8-6+30+12=28

2) Для точки М : А=12; В=6; С=12;

∆=144-36>0; А>0.

В точке М функция имеет минимум, равный z =8+6-30-12=-28

3) Для точки М : А=-6; В=-12; С=-6;

∆=36-144<0. Экстремума нет

4) Для точки М : А=6; В=12; С=6;

∆=36-144<0. Экстремума нет

Расчетные задания.

Задание 1.

Найти область определения указанных функций и частные производные.

1. z= 2. z=arcsin (x-y)

3. z= 4. z=

5. z= 6. z=

7. z=arccos (x+y) 8. z=

9. z= 10. z=

11. z= 12. z=

13. z= 14. z=arcsin

15. z= 16. z=

17. z=arccos (x+2y) 18. z= arcsin (2x-y)

19. z= 20. z=

21. z= 22. z=

23. z= 24. z=

25. z= 26. z= arcsin (3x-y)

27. z= 28. z=

29. z= 30. z=

Задание 2.

1. Дана функция z= . Показать, что =

2. Дана функция z=х . Показать, что =z

3. Дана функция z=( tg . Показать, что =2z

4. Дана функция z=arcsin . Показать, что =0

5. Дана функция z= . Показать, что =-z

6. Дана функция z= . Показать, что =

7. Дана функция Показать, что =3(

8. Дана функция z . Показать, что =

9. Дана функция Показать, что =0

10. Дана функция . Показать, что =0

11. Дана функция Показать, что 3у =0

12. Дана функция tg Показать, что 3у =0

13. Дана функция . Показать, что =z

14. Дана функция Показать, что =

15. Дана функция Показать, что =2

16. Дана функция . Показать, что =0

17. Дана функция . Показать, что =0

18. Дана функция . Показать, что =-z

19. Дана функция Показать, что =1

20. Дана функция arc . Показать, что =-

21. Дана функция Показать, что =0

22. Дана функция Показать, что =1

23. Дана функция ). Показать, что =2

24. Дана функция у . Показать, что =z+2у

25. Дана функция tg . Показать, что =2z

26. Дана функция Показать, что =4(

27. Дана функция . Показать, что =0

28. Дана функция . Показать, что =0

29. Дана функция . Показать, что =0

30. Дана функция . Показать, что =2(

Задание 3.

Найти частные производные и частные дифференциалы следующих функций

Задание 4.

Вычислить значения частных производных f , f , f для данной функции f(х,у,z) в точке

30.

Задание 5.

Найти полные дифференциалы указанных функций

1.

Задание 6.

Вычислить значение производной сложной функции z=z(х,у) где

Задание 7.

Вычислить значения частных производных функции z(х;у), заданной неявно, в данной точке