Волновые пакеты и групповая скорость. Дисперсия

Ранее мы рассматривали только монохроматические волны, т.е. волны, имеющие одну частоту и длину волны. Значительно более общим является случай, когда волны существуют в виде набора или группы частотных гармоник. Анализ поведения таких пакетов приводит к понятию групповой скорости.

Наиболее важные свойства таких пакетов могут быть выявлены при рассмотрении пакета волн, который представляет собой результат суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой, но с разными частотами, распространяющихся в одном направлении (сложение двух волн противоположного направления мы рассмотрели в разделе 6 – стоячие волны). Их смещения описываются формулами (2.9):

Для простоты подберем начальные условия такими, чтобы начальные фазы α₁ и α₂ в этих волнах были равными нулю.

Складывая эти смещения, мы получаем смещение результирующей волны аналогично тому, как получалось выражение для стоячей волны:

Пусть частоты складываемых волн приблизительно одинаковы, так что величина очень близка к частоте любой из двух компонентов. Но разность гораздо меньше, чем ω₁ и ω₂, поскольку мы предположили, что ω₁ и ω₂ приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусоидальная волна с частотой, более или менее равной первоначальной, но что амплитуда ее, имеющая максимальное значение 2А, модулирована в пространстве и времени очень медленно меняющейся огибающей с частотой ω₁-ω₂/2 и волновым числом k₁-k₂/2 (рис. 7.1).

Скорость новой волны равна:

где мы использовали связь (2.8) между волновым числом, частотой и фазовой скоростью бегущей волны: ω₁ = сk₁, ω₂ = сk₂. Следовательно, частотные гармоники и их сумма, т.е. пакет, будут распространяться с одинаковой скоростью, причем профиль пакета не изменяется. Интенсивность новой волны максимальна всегда, когда амплитуда имеет максимальное значение 2А. Это происходит дважды за период, определяемый частотой ν₁- ν₂ (здесь нетрудно усмотреть аналогию с явлением биений, наблюдающихся при сложении двух колебаний с почти одинаковыми частотами ν₁ и ν₂). Таким образом, частота биений интенсивности равна разности частот гармоник ν₁- ν₂. В приведенном здесь примере, где амплитуды гармоник равны А, суммарная амплитуда будет меняться от 0 до 2А. В этом случае говорят о полной, или 100%-й модуляции.

Колебания с частотой

Огибающая с частотой

2А

Рис. 7.1. Биения

Теперь предположим, что две гармоники, рассмотренные выше, имеют разные фазовые скорости и ω₁/k₁ ≠ ω₂/k₂. Скорость перемещения максимума амплитуды пакета, т.е. так называемая групповая скорость

теперь отличается от каждой из этих скоростей. Вид суперпозиции двух волн уже не будет сохраняться, и профиль пакета будет изменяться со временем (поскольку фазовые скорости волн различны, одна из них опережает другую, и результат их сложения для разных моментов времени будет различным), и, как принято говорить, пакет волн будет расплываться.

Среда, в которой фазовая скорость зависит от частоты (где отношение ω/k не является постоянным), называется диспергирующей средой. Зависимость ω от k выражается дисперсионной формулой. Если пакет состоит из гармоник с почти одинаковыми частотами, то исходной выражение для групповой скорости записывается следующим образом

В простейшем случае механических волн, когда ω = kc фазовая скорость и групповая скорость совпадают, т.е. все фазы движутся с одинаковой скоростью, естественно, и групповая скорость будет той же самой.

Групповая скорость – есть скорость перемещения максимальной амплитуды пакета, а потому это есть скорость, с которой переносится энергия пакета.