Единственность предела. Ограниченные функции
Сложная функция
Определение сложной функции.Дана функция , причём аргумент
является функцией от
, т. е.
. Область значений функции
является частью области определения функции
. Следовательно, каждому
из области определения
отвечает определённое значение
, а этому значению
отвечает определённое значение
. Таким образом, каждому указанному
отвечает определённое значение
. Это означает, что
есть функция от
. Она называется сложной функцией от
и записывается в виде
, где
– внутренняя функция,
– внешняя функция,
– промежуточный аргумент. Например, пусть
где
, тогда получим сложную функцию
.
Предел функции.
1.Пусть – переменная величина, которая принимает положительные значения и неограниченно увеличивается. В этом случае будем говорить, что
стремится к плюс бесконечности и писать
. Пусть при этом заданная функция
принимает значения, всё более и более близкие к некоторому числу
, в том смысле, что величина
уменьшается и приближается к нулю. В этом случае будем говорить, что число
есть предел функции
при
.
Определение. Число называется пределом функции
при
, если для любого положительного числа
каким бы малым оно ни было, найдётся такое положительное число
что для всех
выполняется неравенство
т. е. символически
В этом случае будем писать
2. Пусть переменная принимает отрицательные значения, и абсолютная величина
возрастает. В этом случае говорят, что
. Дадим определение предела функции
при
символически. Число
называется пределом функции
при
, если
В этом случае пишут
.
3. Пусть изменяется, принимая как положительные, так и отрицательные значения, абсолютная величина
неограниченно увеличивается. Тогда говорят, что
стремится к бесконечности, и пишут
. Число
называется пределом функции
при
, если для любого положительного
найдётся такое число
, что для всех
, абсолютная величина которых
, имеет место неравенство
т. е.
В этом случае пишут .
4. Пусть – заданное число. Рассмотрим предел функции
, когда
и
. Число
называется пределом слева функции
при
, если для любого числа
найдётся такое число
что для всех точек интервала
выполняется неравенство
, каким бы малым
ни было. Сказанное можно записать символически в виде
В этом случае пишут .
По аналогии дадим определение предела функции справа при
. Число
называется пределом функции
при
справа, если
В этом случае пишут .
5. Число называется (двусторонним) пределом функции
при
, если для любого числа
, каким бы малым оно ни было, найдётся такое число
что для всех точек интервала
отличных от
, выполняется неравенство
, т. е.
В этом случае пишут .
Единственность предела. Ограниченные функции.
Теорема 1. Если функция имеет предел при , то этот предел будет единственным.
Доказательство. Дано, что функция при
имеет предел
. Докажем, что никакое другое число, например,
, не может быть пределом этой функции при
.
Возьмём таким малым, чтобы было
. Так как
– предел функции
при
, то для выбранного нами числа
найдётся такое число
, что для всех
значения функции
будут удовлетворять неравенству (1), следовательно, и (2). Поэтому для всех
имеем
. (3)
Предположим, что . Тогда для выбранного выше числа
найдётся такое число
, что для всех
будет выполняться неравенство
. Следовательно, для всех
будем иметь
. (4)
Пусть – наибольшее из чисел
. Тогда для всех
выполняются оба неравенства (3), (4). Из них получим, что
. Но это противоречит условию, что
, поэтому сделанное предположение должно быть отброшено.
Функция называется ограниченной на некотором множестве значений
, если существует такое положительное число
, что для всех
из множества
выполняется неравенство
.
Теорема 2. Если функция при
имеет предел, то эта функция является ограниченной на некотором бесконечном интервале
.
Доказательство. Дано, что . Для числа
(как и для любого
) найдётся такое число
, что для всех
будет выполняться неравенство
. Согласно свойству абсолютной величины
. Поэтому для всех
имеет место
. Итак, для
имеем
, следовательно, для всех
будем иметь
. Это означает, что функция
ограничена в интервале
. Теорема доказана.
Теорема 3. Если при функция
имеет отличный от нуля предел
, то функция
ограничена на некотором бесконечном интервале
.
Теорема доказывается аналогично предыдущей.