Производные и дифференциал высших порядков

Производные высших порядков

Пусть функция определена и дифференцируема на интервале . Тогда ее производная представляет собой функцию переменной также определенную на интервале . в свою очередь может оказаться дифференцируемой в некоторой точке интервала . Производную от функции называют второй производной (производной второго порядка) от функции и обозначают или . Итак,

.

Далее мы можем аналогично ввести понятие третьей производной, как производной от второй:

,

затем четвертой и т. д.

Предположим, что уже введено понятие производной -ого порядка, и что -я производная дифференцируема в некоторой точке интервала , то есть имеет производную в данной точке. Тогда эту производную называют производной -ого порядка функции и обозначают символами или . Соотношение, определяющее -ю производную имеет вид

.

Определение. Функция, имеющая на данном множестве , конечную производную порядка называется раз дифференцируемой на данном множестве.

Пример. Найти -ю производную степенной функции .

По формуле производной степенной функции имеем

,

,

.

Предположим, что -я производная задается формулой

, (1)

где произведение содержит сомножителей. Тогда

,

то есть формула для -ой производной имеет тот же вид, что и формула для -ой производной. Следовательно, по принципу математической индукции формула (1) справедлива для любого значения .

В частном случае , где — натуральное число, получим

, (2)

где — это произведение натуральных чисел от 1 до , называемое факториалов, то есть

. Например,

,

.

Заметим, что считают равным 1. Для факториалов справедливо рекуррентное соотношение

Поскольку производная порядка функции не зависит от , то из формулы (2) следует, что , и все производные порядка также равны 0.

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале . Ее дифференциал

,

называемый также первым дифференциалом, зависит от двух переменных: и . Далее будем считать, что величина принимает одно и то же фиксированное значение для всех точек рассматриваемого интервала. Тогда дифференциал можно рассматривать как функцию только одной переменной . Предположим, что функция также дифференцируема в точке , принадлежащей интервалу . При таких предположениях в указанной точке у функции существует дифференциал . При вычислении этого дифференциала положим значение дифференциала независимой переменной равным уже зафиксированному ранее значению .

Определение. Значение дифференциала от , взятое при фиксированном значении , называют вторым дифференциалом функции и обозначают символом .

Согласно определению второго дифференциала имеем

. (5)

При выводе последней формулы мы учли, что, так как не зависит от , то . Заметим, что обычно обозначают . Итак,

. (6)

Совершенно аналогично можно определить дифференциалы высших порядков. Предположив, что производная -ого порядка функции дифференцируема в точке , определим дифференциал -ого порядка , как дифференциал от дифференциала -ого порядка, то есть

. (7)

Формула для вычисления дифференциала -ого порядка имеет вид, аналогичный формуле (6)

.

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть сложная функция , аргумент которой представляет собой дифференцируемую функцию , дифференцируема в некоторой точке . Будем считать переменную независимой переменной. Тогда по формуле (3)

.

Отсюда, используя формулу дифференцирования сложной функции

,

и учитывая, что

,

получим

. (4)

Итак, мы установили, что формула для дифференциала функции имеет один и тот же вид независимо от того является ли аргумент функции независимой переменной, или он в свою очередь представляет собой функцию другой переменной. В любом случае дифференциал функции равен произведению производной по ее аргументу на дифференциал данного аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы первого дифференциала.

Правило Лопиталя.

Правило Лопиталя

Говорят, что отношение двух функций представляет собой при неопределенность вида , если . Раскрыть эту неопределенность — это значит найти предельное значение . Следующая теорема дает правило для раскрытия неопределенности вида .

Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть две функции определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки , за исключением может быть самой точки . Пусть далее

(5)

и всюду в указанной выше окрестности точки . Тогда, если существует конечное или бесконечное предельное значение , то существует и предельное значение , причем справедлива формула

.

Если две функции имеют при бесконечные предельные значения, то есть

, (6)

то говорят, что отношение двух функций представляет собой при неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности справедливо утверждение аналогичное теореме 1.

Теорема 2. Пусть две функции определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки , за исключением может быть самой точки . Пусть далее

(5)

и всюду в указанной выше окрестности точки . Тогда, если существует конечное или бесконечное предельное значение , то существует и предельное значение , причем справедлива формула

.

Заметим, что правило Лопиталя справедливо и в случае, когда аргумент стремится не к конечному, а бесконечному пределу ( ).

Заметим также, что если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применять повторно, то есть предельное значение отношения первых производных функций и можно заменить предельным значением отношения вторых производных. Тогда мы получим

.

Пример 1. Найти предел .

Так как и , то имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся правилом Лопиталя:

.

Пример 2. Найти предел .

Здесь , то есть имеется неопределенность вида . Воспользовавшись правилом Лопиталя получим

.