Матрицы линейных преобразований

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом Матрицы линейных преобразований - student2.ru , Матрицы линейных преобразований - student2.ru ,…, Матрицы линейных преобразований - student2.ru задано линейное преобразование А. Тогда векторы А Матрицы линейных преобразований - student2.ruМатрицы линейных преобразований - student2.ru ,…,А Матрицы линейных преобразований - student2.ru - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A Матрицы линейных преобразований - student2.ru = a11 Матрицы линейных преобразований - student2.ru + a21 Матрицы линейных преобразований - student2.ru +…+ an1 Матрицы линейных преобразований - student2.ru

A Матрицы линейных преобразований - student2.ru = a12 Матрицы линейных преобразований - student2.ru + a22 Матрицы линейных преобразований - student2.ru +…+ an2 Матрицы линейных преобразований - student2.ru

……………………………….

A Матрицы линейных преобразований - student2.ru = an1 Матрицы линейных преобразований - student2.ru + an2 Матрицы линейных преобразований - student2.ru +…+ ann Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Тогда матрица А = Матрицы линейных преобразований - student2.ru называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru = x1 Матрицы линейных преобразований - student2.ru + x2 Матрицы линейных преобразований - student2.ru +…+ xn Матрицы линейных преобразований - student2.ru , то A Матрицы линейных преобразований - student2.ru Î L.

Матрицы линейных преобразований - student2.ru , где

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

……………………………..

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе Матрицы линейных преобразований - student2.ru , Матрицы линейных преобразований - student2.ru ,…, Матрицы линейных преобразований - student2.ru .

В матричном виде:

Матрицы линейных преобразований - student2.ru , А× Матрицы линейных преобразований - student2.ru , Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A = Матрицы линейных преобразований - student2.ru

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru переводится в вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru линейным преобразованием с матрицей А, а вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru в вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru в вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru в вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru и линейное преобразование В, переводящее вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru в вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru в вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru .

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

С = В×А

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Т.е. Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

Собственные значения и собственные векторы

Линейного преобразования

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор Матрицы линейных преобразований - student2.ru L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A Матрицы линейных преобразований - student2.ru .

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору Матрицы линейных преобразований - student2.ru .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе Матрицы линейных преобразований - student2.ru , Матрицы линейных преобразований - student2.ru ,…, Матрицы линейных преобразований - student2.ru имеет матрицу А = Матрицы линейных преобразований - student2.ru , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения:

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = Матрицы линейных преобразований - student2.ru .

Запишем линейное преобразование в виде: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Составим характеристическое уравнение:

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

l2 - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;

Для корня l1 = 7: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

Для корня l2 = 1: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = Матрицы линейных преобразований - student2.ru .

Составим характеристическое уравнение:

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Матрицы линейных преобразований - student2.ru

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0

-l3 + 7l2 – 36 = 0

-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0

-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0

(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0

Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;

1) Для l1 = -2: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Если принять х1 = 1, то Матрицы линейных преобразований - student2.ru Þ х2 = 0; x3 = -1;

Собственные векторы: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

2) Для l2 = 3: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Если принять х1 = 1, то Матрицы линейных преобразований - student2.ru Þ х2 = -1; x3 = 1;

Собственные векторы: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

3) Для l3 = 6: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Если принять х1 = 1, то Матрицы линейных преобразований - student2.ru Þ х2 = 2; x3 = 1;

Собственные векторы: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Введение в математический анализ

Предел функции в точке

Матрицы линейных преобразований - student2.ru y f(x)

A + e

A

A - e

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке: Матрицы линейных преобразований - student2.ru

Наши рекомендации