Б) Вычисление площадей в параметрической форме.

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически , прямыми и и осью Ох, то ее площадь находится по формуле:

, (43)

где и определяются из равенств и .

Пример 15. Найти площадь фигуры,

ограниченной эллипсом .

Решение. Найдем сначала площади S.

Здесь х изменяется от 0 до а, следовательно,

t изменяется от до 0 (рисунок 22).

По формуле (43) находим Рисунок 22

. Таким образом, . Значит, (ед².).

Вычисление объемов тел

А) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть имеется некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рисунок 23).

Рисунок 23

Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от х: , где .

Предположим, что - непрерывная функция и определим объем данного тела. Проведем плоскости . Эти плоскости разобьют тело на слои. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и для каждого значения построим цилиндрическое тело, образующая которого представляет собой контур сечения тела Т плоскостью . Объем такого элементарного цилиндра с площадью основания и высотой равен , объем всех цилиндров будет

.

Предел этой суммы при , где (если он существует) называется объемом данного тела: .

Так как представляет собой, очевидно, интегральную сумму для непрерывной функции на , то указанный предел существует и выражается определенным интегралом:

. (44)

Формулу (44) называют формулой объема тела по известной площади поперечного сечения.

Б) Объем тела вращения.

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком оси Ох и прямыми и (рисунок 24).

Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох , есть круг с радиусом .

Следовательно, . Применяя формулу (44) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

. (45)

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми , то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу (рисунок 25) по аналогии с формулой (45), равен

. (46)

Рисунок 24 Рисунок 25

Пример 16. Вычислить объем тела,

которое получается при вращении

вокруг оси Ох криволинейной тра-

пеции, ограниченной гиперболой

, прямыми , х = 12 и

осью абсцисс.

Решение. Построим фигуру,

ограниченную заданными ли-

ниями, а затем тело вращения

вокруг оси Ох (рисунок 26). Рисунок 26

По формуле (45) имеем

(ед³.).

Пример 17. Найти объем тела, полученного

от вращения вокруг оси ординат плоской

фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Проецируя вращаемую фигуру

на ось ординат (рисунок 27), убеждаемся, Рисунок 27

что искомый объем равен .

;

. Следовательно, (ед³.).

Работа переменной силы.

Пусть материальная точка перемещается под действием силы , на прямой вдоль оси и имеет переменную величину . Требуется найти работу , совершаемую силой , по перемещению точки вдоль оси из точки до точки .

Разобьем точками. Выберем .

Сила меняется от точки к точке. Но если мало, можно считать при . Тогда .

Рисунок 28

, -непрерывная функция на , следовательно:

.