Б) Вычисление площадей в параметрической форме.
Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически , прямыми
и
и осью Ох, то ее площадь находится по формуле:
, (43)
где и
определяются из равенств
и
.
Пример 15. Найти площадь фигуры,
ограниченной эллипсом .
Решение. Найдем сначала площади S.
Здесь х изменяется от 0 до а, следовательно,
t изменяется от до 0 (рисунок 22).
По формуле (43) находим Рисунок 22
. Таким образом,
. Значит,
(ед2.).
Вычисление объемов тел
А) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
Пусть имеется некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рисунок 23).
Рисунок 23
Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от х: , где
.
Предположим, что - непрерывная функция и определим объем данного тела. Проведем плоскости
. Эти плоскости разобьют тело на слои. В каждом частичном отрезке
выберем произвольную точку
и для каждого значения
построим цилиндрическое тело, образующая которого представляет собой контур сечения тела Т плоскостью
. Объем такого элементарного цилиндра с площадью основания
и высотой
равен
, объем всех цилиндров будет
.
Предел этой суммы при , где
(если он существует) называется объемом данного тела:
.
Так как представляет собой, очевидно, интегральную сумму для непрерывной функции
на
, то указанный предел существует и выражается определенным интегралом:
. (44)
Формулу (44) называют формулой объема тела по известной площади поперечного сечения.
Б) Объем тела вращения.
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком
оси Ох и прямыми
и
(рисунок 24).
Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох , есть круг с радиусом
.
Следовательно, . Применяя формулу (44) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
. (45)
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми
, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу (рисунок 25) по аналогии с формулой (45), равен
. (46)
Рисунок 24 Рисунок 25
Пример 16. Вычислить объем тела,
которое получается при вращении
вокруг оси Ох криволинейной тра-
пеции, ограниченной гиперболой
, прямыми
, х = 12 и
осью абсцисс.
Решение. Построим фигуру,
ограниченную заданными ли-
ниями, а затем тело вращения
вокруг оси Ох (рисунок 26). Рисунок 26
По формуле (45) имеем
(ед3.).
Пример 17. Найти объем тела, полученного
от вращения вокруг оси ординат плоской
фигуры, ограниченной линиями .
Решение. Проецируя вращаемую фигуру
на ось ординат (рисунок 27), убеждаемся, Рисунок 27
что искомый объем равен .
;
. Следовательно,
(ед3.).
Работа переменной силы.
Пусть материальная точка перемещается под действием силы , на прямой вдоль оси
и имеет переменную величину
. Требуется найти работу
, совершаемую силой
, по перемещению точки вдоль оси
из точки
до точки
.
Разобьем
точками. Выберем
.
Сила меняется от точки к точке. Но если
мало, можно считать
при
. Тогда
.
Рисунок 28
,
-непрерывная функция на
, следовательно:
.