Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах

Пусть в пространстве задана декартова СК, i, j, k –базисные орты. Пусть (a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃). В соответствии со свойствами скалярного произведения мы можем при скалярном умножении векторов раскрывать скобки, как при умножении чисел. Поэтому

· = (a₁i + a₂j + a₃k)·(b₁i + b₂j + b₃k) = a₁b₁i·i + a₁b₂ i·j + a₁b₃ i·k +

+ a₂b₁j·i + a₂b₂ j·j + a₂b₃ j·k + a₃b₁k·i + a₃b₂ k·j + a₃b₃k·k.

Нам известно, что i, j, k– единичные и взаимно ортогональные Þi·i = = j·j = k·k = 1,i·j = i·k = j·k = 0, и это же верно для произведений в другом порядке. Поэтому

· = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ . (7)

Þ ² = ·= a₁²+ a₂²+ a₃² (8)

Þ ½½= = (9)

Þ cosÐ(, ) = =. (10)

Если A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁) Þ

½½= . (11)

Обозначим r(A, B) – расстояние между точками A и B. Тогда r(A, B) вычисляется по той же формуле (11). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. r(A, B) = r(B, A);

2. r(A, B) + r(B, C) ³ r(A, C) (неравенство треугольника);

3. r(A, B) ³ 0, и r(A, B) = 0 Û A = B.

В дальнейшем нам понадобится понятие определителя и его свойства. Этот материал входит в курс высшей алгебры, но изучается, как правило, позже, чем векторное произведение. Поэтому необходимые сведения об определителях 2 и 3 порядка приведены в Приложении к данному курсу лекций. Рекомендуется почитать Приложение, прежде чем продолжить изучение текущего параграфа.

Теорема 5. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой СК: (a₁, a₂, a₃) и (b₁, b₂, b₃), вычисляется по формуле:

(12)

= (a₁b₂ – a₂b₁)i – (a₁b₃ – a₃b₁)j + (a₂b₃ – a₃b₂)k.

Доказательство. Обозначим – это вектор, который вычисляется по этой формуле. Мы докажем, что он удовлетворяет всем условиям в определении векторного произведения.

1. С одной стороны

½½²= (a₂b₁– a₃b₁)² + (a₁b₃ – a₃b₁)² + (a₂b₃ – a₃b₂)² (*),

А с другой стороны

(½½½½sinÐ(, ))² = ½½²½½²sin²Ð(, ) =½½²½½²(1 – cos²Ð(, )) =

=½½²½½²– ½½²½½²cos²Ð(, ) =½½²½½²– ( · )² =

= (a₁²+ a₂²+ a₃²) · (b₁²+ b₂²+ b₃² ) – (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)². (**)

Самостоятельно раскройте скобки в (*) и (**), и убедитесь, что эти выражения совпадают.

2. · = (a₁i + a₂j + a₃k) ·( )

так как в определителе есть две одинаковые строки. Значит ^ . Ана-логично доказывается, что ^.

3.Если ½½ , то строки в определителе пропорциональны и наша формула дает нулевой вектор. Пусть и неколлинеарны. Выберем СК таким образом, чтобы Ox­­, а Oy лежала в одной плоскости с и , причем положительное ее направление указывало в ту же полуплоскость, что и . Ось Oz после этого определяется

однозначно. Тогда (a₁,0, 0), (b₁, b₂, 0), причем, a₁> 0, b₂> 0. Согласно формуле (12) получаем = a₁b₂k, причем, a₁b₂> 0. Значит ­­Oz, и из чертежа видим, что тройка (, , ) – правая.

Итак, вектор, который вычисляется по нашей формуле удовлетворяет всем пунктам в определении векторного произведения.

Следствие 1. ´ = – ´.

Действительно, по свойству определителя, при перестановке двух строк изменяется знак:

Следствие 2. (l )´ = l( ´ ).

Действительно, по свойству определителя, общий множитель элементов одной строки выносится за знак определителя:

Следствие 3. ´( + ) = ´ + ´.

Действительно, по свойствам определителя

Следствие 4. i´j = k, k´i = j, j´k = i.

Докажите это самостоятельно с помощью формулы (12).

Все эти равенства удобно запоминать с помощью диаграммы. Произведение двух ортов взятых подряд по кругу дает третий орт, а в обратном направлении – третий со знаком «–».