Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак
.
2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя
.
3. Два ненулевых вектора и
коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору
.
4. Распределительное свойство
.
Пример 10.
Вычислить модуль векторного произведения векторови
.
Решение:
По формуле
получим
Тогда модуль векторного произведения равен .
Пример 11.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторахи
.
Решение:
Используя формулу
получим
Пример 12.
Вычислить площадь треугольника ABC, если А(–2;1;3), В(2;–1;7),
С(11; 2; –5).
Решение:
Используя координаты вершин треугольника, находим
Тогда
=S
Пример 13.
Исследуйте векторы на коллинеарность
Решение:
Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору)
а) Найдём векторное произведение
Таким образом, векторы и
не коллинеарны.
б) Найдём векторное произведение
Значит,
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Рассмотрим произведение векторов ,
и
, составленное следующим образом
.
Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешаннымпроизведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при перестановке сомножителей
.
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения
.
3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей
.
4. Смешанное произведение ненулевых векторов ,
и
равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.
Выясним геометрический смысл выражения . Построим параллелепипед, ребрами которого являются вектора
,
,
и вектор
(рис.9).
Рис. 9
Имеем
,
где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и
.
– для правой тройки векторов
– для левой тройки векторов;
где – высота параллелепипеда.
Получаем
.
Т.е. ,
где V – объем параллелепипеда, образованного векторами ,
и
.
Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти вектора образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.
Объем параллелепипеда, построенного на векторах ,
вычисляется как
.
Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен
.
Если ,
и
компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.