Динамика материальной точки

Пример решения задачи

№1 Вентилятор вращается с частотой об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки . Какое время прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Дано: об/мин =15 об/с;

.

Найти: .

Решение:

Запишем уравнения движения в скалярном виде:

в уравнениях знак минус, так как движение равнозамедленное

(3);

(4).

Тогда из (2)

Перепишем уравнение (1) с учетом (3), (4) и (5):

;

Подставив это уравнение в (5), получим:

;

Проверка размерности величины

с.

Ответ: t = 10 c

Глава 1. Механика

Основные формулы

Кинематика

Скорость и ускорение прямолинейного движения в общем случае определяются формулами

.

В случае прямолинейного равномерного движения

.

В случае прямолинейного равнопеременного движения

.

В этих уравнениях ускорение a положительно при равноускоренном движении и отрицательно при равнозамедленном.

При криволинейном движении полное ускорение

.

Здесь a_τ – тангенциальное (касательное) ускорение и a_n – нормальное (центростремительное) ускорение, причем

,

где υ – скорость движения и R – радиус кривизны траектории в данной точке.

При вращательном движении в общем случае угловая скорость и угловое ускорение находятся по формулам

В случае равномерного вращательного движения угловая скорость

где Т – период вращения, n – частота вращения ( N – число оборотов за время t) , т.е. число оборотов в единицу времени.

Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного (ε = сonst) вращательного движения:

;

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением

.

Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном движении могут быть выражены в виде

Динамика материальной точки

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением

Если масса m постоянна, то , где а – ускорение, которое приобретает тело массой m под действием силы F.

Работа силы при перемещении s может быть выражена формулой

,

где F_s – проекция силы на направление перемещения, ds – длина перемещения. Интегрирование должно быть распространено на все перемещение s. В случае постоянной силы, действующей под углом α к перемещению, имеем A = F_scosα, где α – угол между силой F и перемещением s.

Мощность определяется формулой

.

В случае постоянной мощности

,

где А – работа, совершаемая за время t.

Мощность может быть определена также формулой

т.е. произведением скорости движения на проекцию силы на направление движения.

Для кинетической энергии тела массой m, движущегося со скоростью υ, имеем

Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил:

· тела поднятого над землей

· упруго деформированного тела

где k – жесткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей деформацию х, равную единице).

Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия сохраняется:

Если кроме консервативных сил на тело действуют неконсервативные силы, то изменение механической энергии равно работе неконсервативных сил:

В изолированной системе импульс ( ) входящих в нее тел остается постоянным, т.е.

· при неупругом центральном ударе двух тел с массами m₁ и m₂ общая скорость движения этих тел после удара может быть найдена по формуле

,

где υ₁ – скорость первого тела до удара и υ₂ – скорость второго тела до удара.

· При упругом центральном ударе тел, двигающихся навстречу друг другу, скорость первого тела после удара

;

скорость второго тела после удара

.

При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть разложена на две составляющие: тангенциальную и нормальную. Нормальная составляющая

является центростремительной силой. Здесь – линейная скорость движения тела массой m, R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Сила тяжести - ;

Сила трения скольжения - ;

Сила всемирного тяготения –

Сила, вызывающая упругую деформацию -