Тема 5. Дифференциальные уравнения
Задача 8.Решить уравнение у'−у tg x=−y2cos x.
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию у представим в виде произведения двух других функций: u=u(x) и υ=υ(х), то есть введем подстановку у= u·υ. Тогда у'=u'υ+uυ' и данное уравнение примет вид:
u'υ+uυ'− uυ tg x=− u2 υ2 cos x
или
υ(u'−u tg x)+ uυ'=− u2 υ2 cos x (1)
Выберем функцию u так, чтобы
u'− u tg x=0 (2)
При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид
uυ'==− u2 υ2 cos x или υ'=− u υ2 cos x (3)
Решая (2) как уравнение с разделяющими переменными, имеем:
tg x d x, ln u=−ln cos x, u=
.
Здесь производная постоянная С=0. Подставляя найденное значение u в уравнение (3), имеем:
.
Тогда у= u·υ= − общее решение данного уравнения.
Задача 9. Найти частное решение уравнения у''+4у=4sin2x-8cos2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у'(0)=0.
Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения уодн однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть
у = уодн+ .
Для нахождения уодн составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни
и
. В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде
уодн= , (4)
где − комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4)
,
, имеем: уодн=
Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция
и числа
не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение
=
. Если же числа
являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение
=
.
Применяя эту теорему при ,
, имеем:
=x(Acos2x+Bsin2x)
Дважды дифференцируя последнее равенство, находим у'':
у''=(4В−4Ах) cos2x+(−4А−4Вх) sin2x.
Подставив в данное уравнение и у'', получим: 4В cos2x−4А sin2x=4 sin2x−8 cos2x,
откуда А=−1, В=−2.
Следовательно, =−х(cos2x+2sin2x) и
у= −х(cos2x+2sin2x).
Найдем у':
у'=−2С1 sin2x+2С2 cos2x- cos2x-2sin2x-х(−2sin2x+4 cos2x).
Используя начальные условия, получим систему
Следовательно, у= есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.
Тема 6. Ряды
Задача 10.Написать первыетри члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.
Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, …, запишем данный ряд в виде:
Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера
.
Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству , или
, или
.
Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При данный ряд принимает вид
.
Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при n→ ∞ . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит, принадлежит области сходимости данного ряда.
При данный ряд принимает вид
. Это обобщенный гармонический ряд. Так как
, то ряд сходится. Значит, при x =
исходный ряд сходится.
Таким образом, - область сходимости данного ряда .
Задача 11.Вычислить с точностью до 0,001.
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sin x на , имеем:
Тогда
.
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда
.