Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Рассмотрим систему сил (F1, F2, F3, … ,Fn), расположенных в одной плоскости. К этому случаю приводится весьма большое число практических задач техники. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат Оху и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, согласно основной теореме статики (§ 4.2), приведем рассматриваемую систему сил к одной силе

Приведение плоской системы сил к простейшему виду - student2.ru , (5.1) равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен главному моменту

МО=∑МО(Fk), (5.2) где МО (Fk) – момент силы Fk относительно центра приведения[†].

Приведение плоской системы сил к простейшему виду - student2.ru Так как силы расположены в одной плоскости, то сила FО также лежит в этой плоскости. Момент же пары МО направлен перпендикулярно этой плоскости, так как сама пара расположена в плоскости действия рассматриваемых сил. Таким образом, для плоской системы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу.

Приведение плоской системы сил к простейшему виду - student2.ru При рассмотрении плоской системы сил мы имеем дело с парами, расположенными в плоскости действия сил. Поэтому в плоских системах нет необходимости придавать векторный смысл моменту пары. Момент пары полностью характеризуется алгебраической величиной Мz, равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составляющих пару, взятой со знаком плюс, если "вращение" пары происходит против ходачасовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Иными словами, за момент пары в плоских системах принимается проекция вектора момента пары на ось z, перпендикулярную плоскости действия сил.

Пусть, например, даны две пары, (F1,F'1) и (F2,F'2); тогда согласно данному определению имеем

Мz(F1,F'1)=h1F1,

Мz(F2,F'2)= – h2F2. (5.3)

Аналогично, моментом пары относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции момента вектора момента на ось, перпендикулярную плоскости, т.е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствующим знаком. Для случаев, изображенных на рис. будет

МОz(F1)=h1F1,

МОz(F2)= – h2F2. (5.4)

Индекс z в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы указать на алгебраический характер моментов.

Приведение плоской системы сил к простейшему виду - student2.ru

Модули же момента пары и момента силы обозначаются следующим образом:

М(F1,F'1)=|Мz(F1,F'1)|,

МО(F)=| МОz(F)|.

Исходя из этих определений, для нахождения главного момента вместо формулы (5.2) будем пользоваться формулой

МОz=∑ МОz(Fk). (5.5)

Формула (4.14), определяющая изменение главного момента при перемене центра приведения, примет вид

МО1z= МОz + МО1z(FО). (5.6)

Для аналитического определения главного вектора применяются формулы:

FОх=∑F=F+F+ … + Fпх,

FОу=∑F=F+F+ … + Fпу, (5.7)

Приведение плоской системы сил к простейшему виду - student2.ru , (5.8)

соs(х,FО)=FОх/FО, соs(у,FО)=FОу/FО. (5.9)

Согласно формулам (5.5) и (3.11) главный момент равен

Приведение плоской системы сил к простейшему виду - student2.ru , (5.10) где хk, уk – координаты точки приложения силы Fk.

Докажем теперь, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т.е. приводится к равнодействующей.

Приведение плоской системы сил к простейшему виду - student2.ru

Пусть для выбранного центра приведения главный вектор и главный момент не равны нулю, т.е. FО≠0, МОz≠0. Дуговая стрелка на рис. символически изображает пару с моментом МОz. Пару сил, момент которых равен главному моменту, представим в виде двух сил F1 иF'1, равных по модулю главному вектору FО, т.е. F1= F'1= FО. При этом одну из сил (F'1), составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы FО. Тогда система сил FО и F'1 эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следовательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе F1,приложенной к точкеО1; эта сила и является равнодействующей. В дальнейшем равнодействующую будем обозначать буквой R, т.е F1= – R. Очевидно, что расстояние h от прежнего центра приведения до линии действия равнодействующей можно найти из условия | МОz| =hFО, т.е.

Приведение плоской системы сил к простейшему виду - student2.ru .

Расстояние h нужно отложить от точки О так, чтобы момент пары сил (F1,F'1) совпадал с главным моментом МОz. В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи:

1. FО≠0, МОz≠0.

В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис.

2. FО≠0, МОz=0.

В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодействующей), проходящей через центр приведения.

3. FО=0, МОz≠0.

При этом система сил эквивалентна одной паре сил.

4. FО=0, МОz=0.

В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т.е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.

Для системы сил, которая приводится к равнодействующей, справедлива следующая теорема о моменте равнодействующей.

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки.

Предположим, что система сил приводится к равнодействующей силе R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве точки приведения другую точку О1. Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил:

МО1z=∑ МО1z(Fk). (5.11)

С другой стороны, на основании формулы (5.6) имеем

МО1z= МО1z(R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (МОz=0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем

МО1z(R)=∑ МО1z(Fk); (5.13) это и доказывает сформулированную теорему.

Приведение плоской системы сил к простейшему виду - student2.ru При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R1 приложена в какой-либо точке О1 с координатами х и у и известны главный вектор FО и главный момент МОz при центре приведения в начале координат. Так как R1=FО, то составляющие равнодействующей по осям х и у равны R=FОх=FОхiиR=FОу= FОуj. Согласно теореме Вариньона момент равнодействующей относительно начала координат равен главному моменту при центре приведения в начале координат, т.е.

МОz= МОz(R1)=х FОу – у FОх. (5.14). Величины МОz, FОх и FОу при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и у в уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты линии действия равнодействующей. При FОх≠0 его можно переписать в виде

У= (FОу/FОх)·х – МОz/FОх.

Задача 5.1.Равнодействующие Ри Fсил давления воды на гравитационную плотину приложены в вертикальной плоскости симметрии перпендикулярно соответствующим граням на расстояниях Н=4 м и h=2,4 м от основания. Сила тяжести G1 прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила тяжести G2 треугольной части – на расстоянии одной трети от вертикальной грани треугольного сечения.

Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина, если Р=20000 кН, F=13000 кН, G1=30000 кН, G2=15000 кН, а=5 м, b=10 м, tg α=5/12.

Прежде всего найдем равнодействующую заданных сил Р, F, G1 и G2, приложенных к плотине. Для вычисления главного вектораFО и главного момента МОz относительно начала координат нам понадобятся значения sinα, cоsα и координаты точки А. Так как tg α=5/12, то sinα=5/13, cоsα=12/13. По условию задачи уА=h=2,4 м. Из треугольника АВС найдем СВ=h tg α=1 м. Следовательно, хА=9 м. Согласно формулам (5.7) и (5.10) имеем

FОх=Р – Fcоsα=8000 кН,

FОу= – G1 – G2= – 50000 кН,

МОz= – РН – G1·а/2 – G2·[a+(b – a)/3+xAFy – yAFx= – 272000 кН.

Главный вектор не равен нулю, поэтому система заданных силР, F, G1, G2, приложенных к плотине, приводится к равнодействующей R2=FО, модуль которой равен

R=FО=√ F2Ох+ F2Оу≈50600 кН.

Уравнение линии действия равнодействующей найдем по формуле (5.14)

25х+4у – 136=0.

На рис. показана равнодействующая R заданных сил, приложенных к плотине. Равнодействующая реакции грунта действует по той же прямой, но она направлена в сторону, противоположную R. Модули этих сил, конечно, равны между собой.

Наши рекомендации