Квадратурная формула гаусса

Рассмотрим полином Лежандра:

,

Свойства полинома Лежандра:

1.

2. -многочлен степени

3. Полином Лежандра имеет ровно различных действительных корней на отрезке [-1;1].

Рассмотрим функцию на интервале [-1;1].

Идея формулы Гаусса:

найти точки и коэффициенты ( ) , чтобы квадратурная формула была точна для полиномов наивысшей возможной степени . Т.к. постоянных имеется , то наивысшая возможная степень полинома - .

Система нелинейная, её решение трудное и поэтому применяется искусственный приём для и .

Рассмотрим полином: , , где -полином Лежандра. Общая степень будет справедлива формула: (по свойству ортогональности). Это равенство справедливо для любых , если . В качестве нужно взять нули полинома Лежандра.

Вернёмся к изначальной системе. Теперь она линейная, т.к. - это нули.

Система имеет определитель Вандермонда; при определитель Вандермонда коэффициенты определяются неоднозначно.

Формула Гаусса для произвольного интервала:

n	i
	1;3		5/9 8/9
	1;4 2;3
	1;5 2;4

Погрешность: , для интервала [a;b].

Точность квадратурной формулы при фиксированном числе узлов существенно зависит от расположения этих узлов.

Ручной счет

Формула Чебышева

k
	-0.707107	1.336827	0.580378
		2.15	0.679339
	0.707107	2.963173	0.647723

Формула Гаусса

k
	-0.707107	1.342827	0.622378	5/9
		2.15	0.679339	8/9
	0.707107	3.061173	0.647723	5/9

Сравниваем со значением функции

Сравниваем со значением функции

Сравниваем со значением функции

Нули полинома Лежандра:

Матрица коэффициентов:

Сравниваем со значением функции

Погрешность:

Matlab

function f1=f_1(x);

f1=(3*x-1)/(x^2+3.4); // задаем функцию

f_1=f1;

return

function Int = Chebushev(a,b,n,T)

sum=0;

for i=1:n

sum=sum+f_1(((b+a)/2)+((b-a)/2)*T(n,i)); // вычисление по формуле

end;

Int=((b-a)/n)*sum;

Результат:

T=[0 0 0 0 0 0 0;

-0.57753 0.57753 0 0 0 0 0;

-0.707107 0 0.707107 0 0 0 0;

-0.794654 -0.187592 0.187592 0.794654 0 0 0;

-0.832498 -0.374541 0 0.374541 0.832498 0 0;

-0.866247 -0.422519 -0.266635 0.266635 0.422519 0.866247 0;

-0.883826 -0.529657 -0.323912 0 0.323912 0.529657 0.883826];

>> Chebushev(1,3.3,6,T)

ans =

1.4609

>> fplot('f_1(x)',[1,3.3]); // рисуем график

>> grid on;

function Int=Gauss_Integr(a,b,n,T,A)

sum=0;

for i=1:n

sum=sum+A(n,i)*(f_1(((b+a)/2)+((b-a)/2)*T(n,i))); // вычисление по формуле

end;

Int=((b-a)/2)*sum;

Результат:

T=[0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

-0.774597 0 0.774597 0 0;

-0.861136 -0.339981 0.339981 0.861136 0;

-0.906180 -0.538469 0 0.538469 0.906180];

>> A=[2 0 0 0 0;

0 0 0 0 0;

5/9 8/9 5/9 0 0;

0.347855 0.652145 0.652145 0.347855 0;

0.236927 0.478629 0.568889 0.478629 0.236927];

>> Gauss_Integr(1,3.3,5,T,A)

ans =

Прикладная задача Численное интегрирование является основным методом, используемым инженерами и научными работниками для получения приближенного ответа при вычислении определенных интегралов, которые нельзя вычислить аналитически. В области статической термодинамики модель Дебье для вычисления теплоемкости твердого тела содержит следующую функцию:

Так как это не аналитическое выражение для F(x), для получения приближенного значения следует использовать численное интегрирование. Например, значение F(5) равно площади под кривой y=f(t)= /( ) для . Численное приближение для F(5) имеет вид:

Используя формулу Чебышева для n=5 , получили такой результат:

I:=4.895169

Сравнивая со значением, полученным с помощью встроенной функции, имеем погрешность:

∆=0.00472315

Используя формулу Чебышева для n=5 , получили такой результат:

I:=4.895169

Сравнивая со значением, полученным с помощью встроенной функции, имеем погрешность:

∆=0.00472315