Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса

Системы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений.

Сейчас мы разберемся, как метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения (или одно единственное решение).

В принципе процесс исключения неизвестных переменных в случае таких СЛАУ остается таким же. Однако следует подробно остановиться на некоторых ситуациях, которые могут возникнуть.

1. На определенном этапе исключения неизвестных переменных некоторые уравнения системы могут обратиться в тождества . Это говорит о том, что такие уравнения излишни, то есть, их можно смело убрать из системы уравнений и продолжить прямой ход метода Гаусса.

К примеру, при исключении x₁ из второго и третьего уравнений системы
мы имеем такую ситуацию:

Следовательно, второе уравнение можно удалить из системы

и продолжить решение.

2. При проведении прямого хода метода Гаусса одно (или несколько) уравнений системы могут принять вид , где - некоторое число, отличное от нуля. Это говорит о том, что уравнение, которое обратилось в равенство , не может обратиться в тождество ни при каких значениях неизвестных переменных. Другими словами, система линейных алгебраических уравнений в этом случае несовместна (не имеет решения). Наиболее часто такие ситуации встречаются, когда число уравнений в системе больше числа неизвестных переменных.

Пример.

Найдите решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого прибавим к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения левую и правую части первого уравнения, умноженные на (-1), (-2) и (-3) соответственно:

Равенство 0=-2, которое получилось в третьем уравнении системы, не достижимо ни для каких значений неизвестных переменных x₁, x₂ и x₃, поэтому, исходная система уравнений решений не имеет.

Ответ:

система несовместна.

3. Предположим, что мы выполняем прямой ход метода Гаусса, и мы подошли к моменту исключения неизвестной переменной x_k, а на каком-то предыдущем i-омшаге (i < k) эта переменная уже исключилась вместе с x_i. Как поступать в данном случае? В этом случае следует перейти к исключению неизвестной переменнойx_k+1. Если x_k+1 также уже исключилась, то переходим к x_k+2 и так далее.

К примеру, после исключения неизвестной переменной x₁ система уравнений

принимает вид
.

Вместе с x₁ исключились x₂ и x₃. Так что прямой ход метода Гаусса продолжаем исключением переменной x₄ из всех уравнений, начиная с третьего:

Далее останется исключить x₅ из последнего уравнения для завершения прямого хода метода Гаусса.

Переходим к самому важному этапу.

Итак, допустим, что система линейных алгебраических уравнений после завершения прямого хода метода Гаусса приняла вид и ни одно уравнение не свелось к (в этом случае мы бы сделали вывод о несовместности системы). Возникает логичный вопрос: «Что делать дальше»?

Выпишем неизвестные переменные, которые стоят на первом месте всех уравнений полученной системы:

В нашем примере это x₁, x₄ и x₅. В левых частях уравнений системы оставляем только те слагаемые, которые содержат выписанные неизвестные переменные x₁, x₄ и x₅, остальные слагаемые переносим в правую часть уравнений с противоположным знаком:

Придадим неизвестным переменным, которые находятся в правых частях уравнений, произвольные значения , где - произвольные числа:

После этого в правых частях всех уравнений нашей СЛАУ находятся числа и можно преступать к обратному ходу метода Гаусса.

Из последнего уравнений системы имеем , из предпоследнего уравнения находим , из первого уравнения получаем

Решением системы уравнений является совокупность значений неизвестных переменных

Придавая числам различные значения, мы будем получать различные решения системы уравнений. То есть, наша система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ:

где - произвольные числа.

Для закрепления материала подробно разберем решения еще нескольких примеров.

Пример.

Решите однородную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную переменную x из второго и третьего уравнений системы. Для этого к левой и правой части второго уравнения прибавим соответственно левую и правую части первого уравнения, умноженные на , а к левой и правой части третьего уравнения - левую и правую части первого уравнения, умноженные на :

Теперь исключим y из третьего уравнения полученной системы уравнений:

Полученная СЛАУ равносильна системе .

Оставляем в левой части уравнений системы только слагаемые, содержащие неизвестные переменные x и y, а слагаемые с неизвестной переменной z переносим в правую часть:

Примем , где - произвольное число, тогда система линейных уравнений примет вид и можно находить неизвестные переменные x и y, выполняя обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения системы имеем , тогда из первого уравнения находим .

Ответ:

, где - произвольное число.

Пример.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений больше числа неизвестных переменных .

Решение.

Системы линейных уравнений такого вида мы можем решать методом Гаусса.

Исключим неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго:

Исключаем x₂ из всех уравнений системы, начиная с третьего:

Третье, четвертое и пятое уравнения полученной системы можно отбросить, при этом получим . В левых частях уравнений оставляем слагаемые, содержащие неизвестные переменные x₁ и x₂, а остальные слагаемые переносим в правые части соответствующих уравнений:

Принимаем , где - произвольные числа, при этом СЛАУ принимает вид .

Из последнего уравнения системы имеем , а из первого уравнения получаем

Так методом Гаусса мы нашли бесконечное множество решений исходной системы уравнений.

Ответ:

, где - произвольные числа.

Пример.

Решите систему линейных уравнений, если она совместна .

Решение.

Проведем решение методом Гаусса, так как этот метод нам позволит выяснить, совместна система или нет и в случае ее совместности определить решение.

Исключим неизвестную переменную x₁ из второго и третьего уравнений системы, прибавив к левой и правой части второго и третьего уравнения левую и правую части первого уравнения, умноженные на и соответственно:

Исключим x₂ из третьего уравнения:

Последнее уравнение приняло вид 0 = - 1, из этого можно сделать вывод о несовместности системы.

Ответ:

система уравнений решений не имеет.

Пример.

Решите методом Гаусса систему линейных уравнений .

Решение.

Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x₁, поэтому, прежде чем начать прямой ход метода Гаусса, переставим местами первое и второе уравнения:

Исключаем x₁:

Исключаем x₂:

Исключаем x₃:

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, и вид системы позволяет сразу переходить к обратному ходу. Из последнего уравнения определяем x₃ = 0. Из второго уравнения находим , из первого уравнения системы имеем

Таким образом, исходная система определена, то есть, имеет единственное решение.

Ответ:

x₁=1, x₂=-2, x₃=0.

Пример.

Решите систему уравнений методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную переменную x₁ из второго и третьего уравнений:

Вместе с x₁ исключилась неизвестная x₂, поэтому переходим к исключению x₃ из третьего уравнения системы:

Вместе с x₃ исключилась неизвестная переменная x₄.

Оставляем в левой части уравнений системы слагаемые, содержащие x₁, x₃ и x₅, остальные переносим в правые части:

Примем , где - произвольные числа, тогда система примет вид

и при обратном ходе метода Гаусса находим

Ответ:

, где - произвольные числа.

К началу страницы

Подведем итог.

Мы рассмотрели решение различных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Можно сделать следующие выводы:

· Если в процессе прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид , где - некоторое число, отличное от нуля, то система несовместна.

· Если в конце прямого хода метода Гаусса мы получаем систему, число уравнений в которой совпадает с числом неизвестных переменных, то система совместна и определена, то есть, имеет единственное решение, которое определяется при проведении обратного хода метода Гаусса.

· Если после завершения прямого хода метода Гаусса в полученной СЛАУ число уравнений меньше числа неизвестных переменных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений, которые находятся при обратном ходе метода Гаусса.