Типы уравнений и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной (число).
I тип:
(8)
где c Î R.
ОДЗ: 
На указанной ОДЗ уравнение (8) решается по определению логарифма:
.
II тип:
(9)
ОДЗ: 
На основании равенства логарифмов, уравнение (9) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению:
.
(10)
ОДЗ: 
Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений:
III тип:уравнения, решаемые заменой переменной
, (11)
где F – некоторое выражение относительно 
.
Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F.
Далее заменяют 
и решают уравнение 
.
Если 
– корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность
Полученные корни проверяют по ОДЗ.
Замечание. Если вместо какого-либо выражения f(x), g(x), h(x) уравнения (8) – (11) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение. Находим ОДЗ:
Решение системы:
Преобразуем уравнение к виду
.
Получили уравнение I типа, которое решается по определению логарифма:
, 
, откуда 
.
Из полученных значений корень 
не подходит по ОДЗ.
Получаем ответ: 
.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:
Заданное уравнение относится к I типу. Получаем
, 
.
Снова используем определение логарифма
, т.е. 
откуда 
.
Полученные корни проверяем подстановкой в условия, определяющие ОДЗ уравнения. Убеждаемся, что корень 
подходит, а корень 
не подходит по ОДЗ.
Получаем ответ: .
Пример 3. Решить уравнение
.
Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:
Данное уравнение относится ко II типу, т.е. решается по свойству равенства логарифмов. Получаем
т.е. 
.
Раскладываем левую часть на множители:
, откуда получаем 
Подставляем найденные значения в ОДЗ, находим, что уравнение имеет только один корень 
.
В ответе имеем: .
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение. Находим ОДЗ:
т.е. 
.
Данное уравнение относится ко II типу. Решаем совокупность:
По ОДЗ подходит только корень 
, т.к. 
.
Получаем ответ: .
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение. ОДЗ: 
. Преобразуем уравнение:
Имеем квадратное уравнение относительно 
(уравнение III типа). Заменяем 
:
.
Решая полученное квадратное уравнение, находим корни 
. Возвращаемся к переменной x:
Оба корня подходят по ОДЗ, получаем ответ: 
.
Пример 6.Решить уравнение
.
Решение. Запишем условия ОДЗ: 
Воспользуемся тем, что
. Тогда
Решаем полученное уравнение как уравнение I типа:
Среди целых делителей свободного члена находим корень 
. Он подходит по ОДЗ.
Пришли к ответу: .
Пример 7. Решить уравнение 
.
Решение. ОДЗ: 
, т.е. 
.
Воспользуемся свойствами модуля: 
, если 
, и 
. Тогда уравнение перепишется в виде
Заменяем 
и приходим к квадратному уравнению
,
корнями которого являются числа 
.
Возвращаемся к старой переменной:
Раскрываем модуль, используя ОДЗ:
Получаем ответ: 
Пример 8. Решить уравнение
.
Решение. ОДЗ: 
, т.е. 
.
Рассмотрим левую часть уравнения:
Преобразуем правую часть. Получим
.
Используя функциональный метод решения, заключаем, что решением исходного уравнения является решение системы
т.е. 
.
Получаем ответ: .
Пример 9. Найти сумму корней уравнения 
.
Решение. Для данного уравнения характерно следующее: если 
корень уравнения, то и 
тоже корень уравнения. Поэтому если уравнение имеет корни, то их сумма будет равна нулю. Подстановкой находим корни 
.
Получаем ответ: 0.
Задания
I уровень
1.1. Решите уравнение:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
; 9. 
;
10) 
.
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
;
19) 
;
20) 
;
21) 
.
III уровень
3.1. Решите уравнение:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
.