Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде
, (1)
где ,
,
- направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).
Пусть - какая угодно точка пространства, d - расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением
точки
от данной плоскости называется число +d, если точка
и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число -d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если
лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).
Если точка имеет координаты
,
,
, а плоскость задана нормальным уравнением
,
то отклонение точки от этой плоскости дается формулой
.
Очевидно, .
Общее уравнение плоскости
приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирущий множитель, определяемый формулой
;
знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Угол между двумя плоскостями
Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Пусть две пересекающиеся плоскости A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2y + B2y + C2z + D2 = 0 имеют нормальные векторы =(A1;B1; C1) и
=(A2; B2; C2). Тогда угол между этими плоскостями вычисляется по формуле:
Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Для того чтобы две плоскости были параллельны, их нормальные векторы и
должны быть коллинеарны, т.е.
, где λ≠0. Если ни одна из координат векторов
и
не равна нулю, то из последнего равенства следует, что:
A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2,
т.е. коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны.
Для того чтобы плоскости были перпендикулярны, их нормальные векторы и
также должны быть перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю:
. Отсюда следует, что:
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
Уравнения прямой в пространстве.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (3.2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
=
; (3.3)
3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a(m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
. (3.4)
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Векторa называется направляющим вектором прямой.