Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению (п.4.1) часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Теорема.

Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы функции , , (при условии, что ) и при этом

;

;

, .

Следствия

1. , где .

2. Если , то .

3. , где .

Производная сложной функции

Пусть и , тогда − сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема.

Если функции имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в точке х имеет производную , которая находится по формуле:

или = .

Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

Данное правило распространяется на сложные функции при любом (определенном) числе промежуточных аргументов.

Так, если , , , , то

.

Производная обратной функции

Если и − взаимо-обратные дифференцируемые функции и , то

или ,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Записывают:

или .

Пример

Найти производную функции .

, , тогда , . Имеем .

.

Итак, .

Таблица производных

Для удобства и упрощения процесса дифференцирования формулы производных основных элементарных функций и правила дифференцирования сведены в таблицу.

Правила дифференцирования	Формулы дифференцирования
1.		1.	,
2.		2.
3.	,	3.
4.	, .	4.
5.	,	5.
6.	, если ,	6.
7.	, если ,	7.
		8.
		9.
		10.
		11.
		12.
		13.
		14.
		15.
		16.
		17.

Примеры отыскания производных сложных функций

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Покажем на примерах, как находить производные от таких функций.

1. , k − число.

;

.

2. .

;

.

3. .

;

.

4. .

;

.

5. .

;

.

6. .

;

;

.

7. .

.

8. .

;

.

9. .

.

10. .

;

.

Для случая дифференцирования сложных функций, таблицу производных можно переписать в более общем виде.

Формулы дифференцирования основных элементарных функций от промежуточного аргумента ( )

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.

Производная функции, заданной параметрически

Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений:

где t − вспомогательная переменная (параметр).

Функцию , определяемую этими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Так как , то

.

Примеры

Найти производные функций:

1.

.

2.

.

Производная неявной функции

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х надо продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х, и затем, полученное уравнение разрешить относительно , выразив через х и у.

Пример

Найти производную функции: .

;

;

;

.