Метод последовательного исключения неизвестных

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод последовательного исключения неизвестных

Пусть имеем систему s линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

где коэффициенты a_ij, при неизвестных x_{i ,} и свободные члены b_{i ,} системы уравнений считаются заданными.

Системе уравнений (1) соответствуют: матрица системы A (составлена из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица (составлена из всех ее коэффи-циентов, включая свободные члены):

, (2)

Решением системы линейных уравнений (1) называется такая система n чисел (k₁, k₂ , k₃, …, k_n), что каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены в нем неизвестных x_i соответствующими числами k_i , . i = 1, 2, …, n.

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) заключается в последовательном применении к строкам матрицы эквивалентных преобразований, приводящих исходную матрицу к «трапецоидальному» или «треугольному» (в частном случае) виду. Метод можно применять по отношению к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе преобразований получается уравнение, в котором коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же такое уравнение не встретим, то система будет совместной. Совместная система будет определенной, если она приводится к треугольному виду, и неопределенной, если приводится к трапецоидальному виду.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода для различных возможных случаев.

☺ Пример 64. Решим систему уравнений:

Решение: Составляем расширенную матрицу и применяем элементарные преобразования (эквивалентные для заданной системы):

1-й шаг: 2R-1Rх3; 3R-1R; 2-й шаг: 4R-3Rх20; 2R-3Rх21:

	-5	-8			1 шаг		-5	-8			2 шаг		-5	-8
		-3	-5						-8	-8			-89		-29
		-7		-5	→					-8	→					-8
			-9						-9				-89		-29

3-й шаг: 4R-2R:

	-5	-8
	-89		-29
				-8
					→ Исходная система несовместна.

Ответ: Система уравнений несовместная (решений нет).

Пример 65. Решим систему уравнений:

Решение: Составляем расширенную матрицу и применяем элементарные преобразования (эквивалентные для заданной системы):

1-й шаг: 1R-5R; 2R-4R; 3R-4R; 5R-4Rх2; 2-й шаг: 3R-5R; 4R+3R; 5R-1R;:

					1 шаг						2 шаг
							-2			-5			-2			-5
							-3			-7				-1
					→						→		-1
							-6			-12			-8			-15

3-й шаг: 5R-2Rх4; 2R+3R; 4R+2R; 3R-2Rх3; 4-й шаг: 4R+3R; 3Rх(-1);4-й шаг: 1R-2Rх2.

					4 шаг						5 шаг
		-1								-5						-5
					→						→

Остается считать из последнего столбца матрицы решение (3, 0, -5, 11).

Ответ: x₁ = 3, x₂ = 0, x₃ = -5, x₄ = 11.

Пример 66. Решим систему уравнений:

Решение: Составляем расширенную матрицу и применяем элементарные преобразования (эквивалентные для заданной системы):

1-й шаг: 3R-2Rх2; 2R-1R; 4R-1Rх3; 5R-1Rх5; 2-й шаг: 1R-2R; 2R-3R; 4R-3R; 5R+2Rх3:

					1 шаг						2 шаг
										-1						-4
								-2	-1					-2	-1
					→			-2	-1		→
							-3	-6	-3							-7

3-й шаг: 3R-2R; 5R+3R; 2R+3R; 4-й шаг: Записываем выражения для x₁, x₂, x_3.

		-2	-1
		-6	-3		, здесь x4 - свободная неизвестная

Остается выразить из последнего столбца матрицы решение, зависящее от произвольной постоянной x₄.

Ответ: , ,

☻Решите примеры:

Пример 67. Решите систему уравнений:

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = -2, x₄ = 0, x₅ = 3.

Пример 68. Решите систему уравнений:

Ответ: Система уравнений несовместная (решений нет).

Пример 69. Решите систему уравнений:

Ответ: , , .

Вопросы для самопроверки:

1. Можно ли, применяя метод Гаусса, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?

2. Можно ли решить систему уравнений методом Гаусса, если все значения свободных членов b_{i ,} i = 1, 2, …, n равны нулю?

3. Можно ли записать систему уравнений, представленную в Примере 69, в виде матричного уравнения AX = B ?

Правило Крамера

Пусть имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(3)

где коэффициенты a_ij, при неизвестных x_{i ,} и свободные члены b_{i ,} системы уравнений считаются заданными.

Системе уравнений (3) соответствуют: матрица системы A (составлена из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица (составлена из всех ее коэффи-циентов, включая свободные члены):

, (4)

Для применения правила Крамера требуется, чтобы определитель системы . Тогда (как показано в Гл. 3 настоящего пособия) для нахождения решения можно воспользоваться выражениями:

, , … , , (5)

где d_i является определителем матрицы, получающейся из матрицы А заменой i – го столбца столбцом (b₁, b₂, … , b_n) матрицы .

Формулы (5) определяют единственное решение. Рассмотрим ряд примеров по применению правила Крамера.

☺ Пример 70. Решим систему уравнений:

Решение: Последовательность вычислений при нахождении решения заданной системы:

1. Вычислим определитель системы d:

1-й шаг: 1R-2R; 4R-2R; 2-й шаг: 2R-1R; 3-й шаг: разложение по 1-му столбцу:

		-5		1 шаг			-5		2 шаг			-5
	-3		-6			-3		-6			-7		-13	3 шаг	-7		-13
		-1		=			-1		=			-1		=1(-1)1+1		-1
		-7					-7					-7				-7

4-й шаг: 1R+3R; 3R-2Rх3; 5-й шаг: 2R-3R х2; 6-й шаг: разложение по 1-му столбцу, вычисление определителя 2-го порядка и получение результата::

4 шаг		-2	-1	5 шаг		-2	-1
=		-1		=			-10	6 шаг	-2	-1
		-4				-4		=1(-1)3+1		-10	= 27

2. Вычислим определитель d₁ для вычисления x₁ :

1-й шаг: 2R+3R; 1R-2R х2; 3R+2R; 2-й шаг: 2R+3R х4; 3-й шаг: разложение по 1- му столбцу; 4-й шаг: 3R-1R; 2R-3R х3;

		-5		1 шаг			-3		2 шаг			-3
	-3		-6			-1	-1	-4				-9	-12	3 шаг		-3
-5		-1		=	-1		-2	-2	=	-1		-2	-2	=(-1)(-1)3+1		-9	-12
		-7					-7					-7				-7

4-й шаг: 3R-2R; 2R-3R х3; 5-й шаг: разложение по 3-й строке:

4 шаг
=			-3	5 шаг			= 81
		-4	-3	=-(1) (-1)3+1		-3

2. Вычислим определитель d₂ для вычисления x₂ :

1-й шаг: 1R-2R; 2R-4R ; 4R-1R; 2-й шаг: разложение по 1-му столбцу;1R+2R; 2R+1R ; 3-й шаг: выносим множитель 2 из 1-й строки; 2R+3R; 1R-3R х2;

		-5		1 шаг		-1	-5
			-6					-12	2 шаг			-10	3 шаг			-5
	-5	-1		=		-5	-1		= (-1)1+1	-1		-8	= 2∙			-9
		-7					-2	-1			-2	-1			-2	-1

4-й шаг: выносим множ. 3 из 2-й строки; 1R-3R х2; 5-й шаг: разложение по 1-му столбцу; вычисление определителя 2-го порядка и получение результата:

4 шаг			-3
= 2∙3∙			-3	5 шаг		-3
		-2	-1	=6∙ (-1)3+1		-3	= – 108

3. Вычислим определитель d₃ для вычисления x₃ :

1-й шаг: 3С+4С; 4С-2С; 2-й шаг: выносим множитель 3 из 3-го столбца; 3-й шаг: 2С-4С; 2R+1R :

				1 шаг					2 шаг					3 шаг
	-3		-6			-3		-3			-3		-3					-3
		-5		=			-3		= 3∙			-1		= 3∙			-1

4-й шаг: 1R-2Rх2; 4R-2R; 5-й шаг: разложение по 1-му столбцу; 3R-2R;2R-1Rх2; вычисление определителя 2-го порядка и получение результата:

4 шаг
				-3	5 шаг
= 3∙			-1		=3∙ (-1)2+1		-3	-12	6 шаг	-3	-12
									= –3∙ (-1)1+1			= –27

4. Вычислим определитель d₄ для вычисления x₄ :

1-й шаг: 1R-4Rх2; 2R-4R; 2-й шаг: разложение по 1-му столбцу; 3-й шаг: 2С-4С; 2R+1R :

		-5		1 шаг		-7
	-3					-7			2 шаг	-7			3 шаг			-1
		-1	-5	=			-1	-5	= (-1)4+1	-7			= –	-7
		-7					-7				-1	-5			-1	-5

4-й шаг: 2С+3Сх2; 5-й шаг: разложение по 1-й строке; вычисление определителя 2-го порядка и получение результата:

4 шаг			-1
= –	-7			5 шаг	-7
		-11	-5	=–(-1)∙ (-1)1+3		-11	= -27

5. Вычислим неизвестные переменные :

, , ,

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -4, x₃ = -1, x₄ = 1.

Оценка применения правила Крамера: а) объем вычислений соответствует вычислению (n+1)-го определителей n-го порядка; б) в пределах вычисления одного определителя любая промежуточная ошибка может быть исправлена от места обнаруженной ошибки; в) представляет ценность как исследовательский инструмент: по коэффициентам исходной системы уравнений можно предсказывать получаемые результаты или вводить требования к участвующим параметрам..

☻Решите примеры:

Пример 71. Решите систему уравнений:

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = -2.

Пример 72. Решите систему уравнений:

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = 0, x₄ = 2.

Пример 73. Решите систему уравнений:

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = -2, x₄ = -2; x₅ = 1.

Вопросы для самопроверки:

1. Можно ли, применяя правило Крамера, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?

2. Можно ли решить систему уравнений по правилу Крамера, если все значения свободных членов b_{i ,} i = 1, 2, …, n равны нулю?