Метод последовательного исключения неизвестных

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод последовательного исключения неизвестных

Пусть имеем систему s линейных уравнений с n неизвестными:

Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru (1)

где коэффициенты aij, Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru при неизвестных xi , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru и свободные члены bi , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru системы уравнений считаются заданными.

Системе уравнений (1) соответствуют: матрица системы A (составлена из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru (составлена из всех ее коэффи-циентов, включая свободные члены):

Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru (2)

Решением системы линейных уравнений (1) называется такая система n чисел (k1, k2 , k3, …, kn), что каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены в нем неизвестных xi соответствующими числами ki , . i = 1, 2, …, n.

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) заключается в последовательном применении к строкам матрицы эквивалентных преобразований, приводящих исходную матрицу к «трапецоидальному» или «треугольному» (в частном случае) виду. Метод можно применять по отношению к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе преобразований получается уравнение, в котором коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же такое уравнение не встретим, то система будет совместной. Совместная система будет определенной, если она приводится к треугольному виду, и неопределенной, если приводится к трапецоидальному виду.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода для различных возможных случаев.

Пример 64. Решим систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Решение: Составляем расширенную матрицу Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru и применяем элементарные преобразования (эквивалентные для заданной системы):

1-й шаг: 2R-1Rх3; 3R-1R; 2-й шаг: 4R-3Rх20; 2R-3Rх21:

-5 -8 1 шаг -5 -8 2 шаг -5 -8
-3 -5   -8 -8   -89 -29
-7 -5 -8 -8
-9   -9   -89 -29

3-й шаг: 4R-2R:

-5 -8  
-89 -29  
-8  
→ Исходная система несовместна.

Ответ: Система уравнений несовместная (решений нет).

Пример 65. Решим систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Решение: Составляем расширенную матрицу Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru и применяем элементарные преобразования (эквивалентные для заданной системы):

1-й шаг: 1R-5R; 2R-4R; 3R-4R; 5R-4Rх2; 2-й шаг: 3R-5R; 4R+3R; 5R-1R;:

1 шаг 2 шаг
  -2 -5   -2 -5
  -3 -7   -1
-1
  -6 -12   -8 -15

3-й шаг: 5R-2Rх4; 2R+3R; 4R+2R; 3R-2Rх3; 4-й шаг: 4R+3R; 3Rх(-1);4-й шаг: 1R-2Rх2.

4 шаг 5 шаг
   
-1   -5   -5
   

Остается считать из последнего столбца матрицы решение (3, 0, -5, 11).

Ответ: x1 = 3, x2 = 0, x3 = -5, x4 = 11.

Пример 66. Решим систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Решение: Составляем расширенную матрицу Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru и применяем элементарные преобразования (эквивалентные для заданной системы):

1-й шаг: 3R-2Rх2; 2R-1R; 4R-1Rх3; 5R-1Rх5; 2-й шаг: 1R-2R; 2R-3R; 4R-3R; 5R+2Rх3:

1 шаг 2 шаг
  -1   -4
  -2 -1   -2 -1
-2 -1
  -3 -6 -3   -7

3-й шаг: 3R-2R; 5R+3R; 2R+3R; 4-й шаг: Записываем выражения для x1, x2, x3.

Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru
-2 -1 Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru
-6 -3 Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , здесь x4 - свободная неизвестная
 
 

Остается выразить из последнего столбца матрицы решение, зависящее от произвольной постоянной x4.

Ответ: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

☻Решите примеры:

Пример 67. Решите систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Ответ: x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2, x4 = 0, x5 = 3.

Пример 68. Решите систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Ответ: Система уравнений несовместная (решений нет).

Пример 69. Решите систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Ответ: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru .

Вопросы для самопроверки:

1. Можно ли, применяя метод Гаусса, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?

2. Можно ли решить систему уравнений методом Гаусса, если все значения свободных членов bi , i = 1, 2, …, n равны нулю?

3. Можно ли записать систему уравнений, представленную в Примере 69, в виде матричного уравнения AX = B ?

Правило Крамера

Пусть имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru (3)

где коэффициенты aij, Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru при неизвестных xi , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru и свободные члены bi , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru системы уравнений считаются заданными.

Системе уравнений (3) соответствуют: матрица системы A (составлена из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru (составлена из всех ее коэффи-циентов, включая свободные члены):

Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru (4)

Для применения правила Крамера требуется, чтобы определитель системы Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru . Тогда (как показано в Гл. 3 настоящего пособия) для нахождения решения можно воспользоваться выражениями:

Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , … , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , (5)

где di является определителем матрицы, получающейся из матрицы А заменой i – го столбца столбцом (b1, b2, … , bn) матрицы Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru .

Формулы (5) определяют единственное решение. Рассмотрим ряд примеров по применению правила Крамера.

Пример 70. Решим систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Решение: Последовательность вычислений при нахождении решения заданной системы:

1. Вычислим определитель системы d:

1-й шаг: 1R-2R; 4R-2R; 2-й шаг: 2R-1R; 3-й шаг: разложение по 1-му столбцу:

-5 1 шаг -5 2 шаг -5        
-3 -6   -3 -6   -7 -13 3 шаг -7 -13
-1 = -1 = -1 =1(-1)1+1 -1
-7   -7   -7   -7

4-й шаг: 1R+3R; 3R-2Rх3; 5-й шаг: 2R-3R х2; 6-й шаг: разложение по 1-му столбцу, вычисление определителя 2-го порядка и получение результата::

4 шаг -2 -1 5 шаг -2 -1        
= -1 = -10 6 шаг -2 -1  
  -4   -4 =1(-1)3+1 -10 = 27

2. Вычислим определитель d1 для вычисления x1 :

1-й шаг: 2R+3R; 1R-2R х2; 3R+2R; 2-й шаг: 2R+3R х4; 3-й шаг: разложение по 1- му столбцу; 4-й шаг: 3R-1R; 2R-3R х3;

-5 1 шаг -3 2 шаг -3        
-3 -6   -1 -1 -4   -9 -12 3 шаг -3
-5 -1 = -1 -2 -2 = -1 -2 -2 =(-1)(-1)3+1 -9 -12
-7   -7   -7   -7

4-й шаг: 3R-2R; 2R-3R х3; 5-й шаг: разложение по 3-й строке:

4 шаг        
= -3 5 шаг = 81
  -4 -3 =-(1) (-1)3+1 -3  

2. Вычислим определитель d2 для вычисления x2 :

1-й шаг: 1R-2R; 2R-4R ; 4R-1R; 2-й шаг: разложение по 1-му столбцу;1R+2R; 2R+1R ; 3-й шаг: выносим множитель 2 из 1-й строки; 2R+3R; 1R-3R х2;

-5 1 шаг -1 -5                
-6   -12 2 шаг -10 3 шаг -5
-5 -1 = -5 -1 = (-1)1+1 -1 -8 = 2∙ -9
-7   -2 -1   -2 -1   -2 -1

4-й шаг: выносим множ. 3 из 2-й строки; 1R-3R х2; 5-й шаг: разложение по 1-му столбцу; вычисление определителя 2-го порядка и получение результата:

4 шаг -3        
= 2∙3∙ -3 5 шаг -3  
  -2 -1 =6∙ (-1)3+1 -3 = – 108

3. Вычислим определитель d3 для вычисления x3 :

1-й шаг: 3С+4С; 4С-2С; 2-й шаг: выносим множитель 3 из 3-го столбца; 3-й шаг: 2С-4С; 2R+1R :

1 шаг 2 шаг 3 шаг
-3 -6   -3 -3   -3 -3   -3
-5 = -3 = 3∙ -1 = 3∙ -1
     

4-й шаг: 1R-2Rх2; 4R-2R; 5-й шаг: разложение по 1-му столбцу; 3R-2R;2R-1Rх2; вычисление определителя 2-го порядка и получение результата:

4 шаг                
  -3 5 шаг        
= 3∙ -1 =3∙ (-1)2+1 -3 -12 6 шаг -3 -12  
    = –3∙ (-1)1+1 = –27

4. Вычислим определитель d4 для вычисления x4 :

1-й шаг: 1R-4Rх2; 2R-4R; 2-й шаг: разложение по 1-му столбцу; 3-й шаг: 2С-4С; 2R+1R :

-5 1 шаг -7                
-3   -7 2 шаг -7 3 шаг -1
-1 -5 = -1 -5 = (-1)4+1 -7 = – -7
-7   -7   -1 -5   -1 -5

4-й шаг: 2С+3Сх2; 5-й шаг: разложение по 1-й строке; вычисление определителя 2-го порядка и получение результата:

4 шаг -1        
= – -7 5 шаг -7  
  -11 -5 =–(-1)∙ (-1)1+3 -11 = -27
                 

5. Вычислим неизвестные переменные :

Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru , Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Ответ: x1 = 3, x2 = -4, x3 = -1, x4 = 1.

Оценка применения правила Крамера: а) объем вычислений соответствует вычислению (n+1)-го определителей n-го порядка; б) в пределах вычисления одного определителя любая промежуточная ошибка может быть исправлена от места обнаруженной ошибки; в) представляет ценность как исследовательский инструмент: по коэффициентам исходной системы уравнений можно предсказывать получаемые результаты или вводить требования к участвующим параметрам..

☻Решите примеры:

Пример 71. Решите систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Ответ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = -2.

Пример 72. Решите систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Ответ: x1 = 1, x2 = -1, x3 = 0, x4 = 2.

Пример 73. Решите систему уравнений: Метод последовательного исключения неизвестных - student2.ru

Ответ: x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2, x4 = -2; x5 = 1.

Вопросы для самопроверки:

1. Можно ли, применяя правило Крамера, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?

2. Можно ли решить систему уравнений по правилу Крамера, если все значения свободных членов bi , i = 1, 2, …, n равны нулю?

Наши рекомендации