Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение 8. Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше второго порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Общий вид такого уравнения

,

где - искомая неизвестная функция, и - ее производные по x первого и второго порядков, а - заданная функция переменных .

Определение 9. Общим уравнением дифференциального уравнения второго порядка называется функция от x и двух произвольных постоянных и , обращающая это уравнение в тождество по x.

Определение 10. Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Определение 11. Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении и : , где и - фиксированные числа.

Определение 12. Частным интегралом этого уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении и : , где и - фиксированные числа.

Общее решение дифференциального уравнения можно рассматривать кА семейство интегральных кривых данного уравнения, зависящее от двух параметров и . Частному решению, полученному из общего, соответствует одна кривая этого семейства.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальным условиям , . Постоянные и определяются из системы уравнений

Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить интегральную кривую, проходящую через данную точку в заданном направлении .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение 13. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где и - некоторые числа.

Если , то дифференциальное уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид .

Справедлива теорема: если и - частые решения уравнения , причем , то функция , где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Решением данного дифференциального уравнения должна быть такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение, превратит его в тождество. Левая часть уравнения представляет собой сумму функции y и ее производных и , взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма бранилась в нуль, надо, чтобы y, и были подобны между собой.

Такой функцией является функция , где - постоянная. Требуется подобрать так, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению .

Так как , а , то, подставляя эти значения y, и в левую часть уравнения , получим .

Сокращая на множитель , не обращающийся в нуль, получим характеристическое уравнение .

Это уравнение определяет те значения , при которых функция является решением дифференциального уравнения .

При решении характеристического уравнения возможны три случая:

№	корни уравнения	частные решения	общее решение
	действительные различные ( )
	действительные равные ( )
	комплексно-сопряженные ( )

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

, , , .

Корни характеристического уравнения являются действительными и различными. Поэтому , - частные решения, а - общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение или имеет действительные равные корни . Поэтому , - частные решения, а - общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

, , , .

Корни являются комплексно-сопряженными. Поэтому , - частные решения, а - общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 10. Найти общее решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее данными начальным условиям при , , .

Решение. Характеристическое уравнение или имеет действительные равные корни . Поэтому , - частные решения, а - общее решение данного дифференциального уравнения.

Для определения частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, сначала найдем производную функции :

. Теперь подставим начальные условия в выражения для и :

или ,

откуда и .

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям: .

Упражнения для самопроверки

1. Найдите интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ; ; д) ;е) ; ж) ; з) .

2. Вычислите определенные интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям:

а) , при ; б) , при ; в) , при ; г) , при .

Ответы: 1. а) ; б) ; в) ; г) ; ; д) ; е) ; ж) ; з) . 2. а) 19; б) 4e; в) 8/3; г) 2/9. 3. а) , ; б) , ; в) , ; г) , .