Числовые и функциональные ряды

РАЗДЕЛ I

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Задание 1

Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде ψ(х,у) = С).

Решение

Разделяя переменные в уравнении, имеем:

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

откуда или

Ответ:

Задание 2

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Разделим обе части уравнения на х. Имеем:

Введем замену: y = t∙x, тогда y' = t'∙x + t. Имеем

Разделяя переменные, получим

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

откуда или, после потенцирования,

Возвращаясь к замене, окончательно получаем: 2∙С∙х4= у3+ 3∙у∙х2

Ответ:2∙С∙х4= у3+ 3∙у∙х2

Задание 3

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Найдем точку пересечения прямых х + 2∙у - 3 = 0 и 4∙х - у - 3 = 0. Решая совместно эти два уравнения, находим: х = 1, у = 1.

Введем замены: y = v + 1, x = u + 1. Тогда dy = dv, dx = du. Имеем

или

Введем еще одну замену: v = t∙u, тогда v' = t'∙u + t. Имеем:

Разделяя переменные, получим:

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

откуда или, после потенцирования,

.

Возвращаясь к заменам, окончательно получаем: .

Ответ: .

Задание 4

Найти решение задачи Коши ,

Решение

Пусть , тогда . Имеем:

или

.

Пусть тогда .

Решим эти уравнения

Подставим найденное значение в уравнение :

.

Возвращаясь к замене, окончательно получаем:

.

При х = 0 , , т.е

Ответ: .

Задание 5

Найти решение задачи Коши

,

Решение

Примем у за независимую переменную, а х(у) - за функцию переменной у. Тогда по правилу нахождения производной обратной функции: . Имеем:

или

.

Пусть , тогда . Имеем:

или

.

Пусть тогда .

Решим эти уравнения

Подставим найденное значение в уравнение

:

.

Возвращаясь к замене, окончательно получаем:

.

При , т.е , а

Ответ: .

Задание 6

Найти решение задачи Коши: , y(0) = -1

Решение

Пусть , тогда , а . Имеем: . Умножим обе части уравнения на , получим:

или (1).

Решим однородное уравнение: . Имеем: , откуда после интегрирования: получаем (2), где С(х) - неизвестная функция от х.

Подставляя (2) в (1), получаем:

или

. Интегрируя обе части уравнения, получаем:

или

, откуда . Подставляя полученное выражение в (2) получаем: .

Возвращаясь к замене, получаем: .

При х = 0 , , откуда . Т.е.

.

Ответ: .

Задание 7

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Преобразуем данное уравнение. Имеем:

Введем замену: y = t∙x, тогда y' = t'∙x + t. Имеем

Разделяя переменные, получим

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

откуда или, после потенцирования,

Возвращаясь к замене, окончательно получаем:

Ответ: .

Задание 8

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение

Данное дифференциальное уравнениедопускает понижение порядка, поэтому принимаем y'' = t, тогда y''' = t'. Имеем: . Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

откуда или

.

Возвращаясь к замене, получаем:

,

Ответ:

Задание 9

Найти решение задачи Коши: у(2) = 1, y'(2) = 6

Решение

Данное дифференциальное уравнениене содержит явно переменную х. Введем замену: y'(x) = t(y), тогда . Имеем:

. Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

или . При х = 2, у = 1, , откуда С1= 0. Т.е.

Возвращаясь к замене, получаем: .

Разделяем переменные и интегрируем: , откуда . При х = 2, , откуда С2= -13. Таким образом: .

Ответ: .

Задание 10

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение

Данному неоднородному уравнению четвертого порядка соответствует однородное уравнение . Его характеристическое уравнение: , корни которого

k1,2= 0, k3,4= -1. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

. Имеем:

; ;

; yIV1= 24A.

Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получаем:

, , C = 12.

Общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Ответ:

Задание 11

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение

Данному неоднородному уравнению третьего порядка соответствует однородное уравнение . Его характеристическое уравнение: , корни которого k1,2= -1, k3= 2. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

. Имеем:

;

;

.

Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получаем: A = 0; B = 1; C = 0.

Общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Ответ: .

Задание 12

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение

Данному неоднородному уравнению второго порядка соответствует однородное уравнение y'' + y = 0. Его характеристическое уравнение: k2 + 1 = 0, корни которого k1= -i, k2= i. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

. Имеем:

; .

Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получаем: , .

Общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Ответ: .

Задание 13

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение

Данному неоднородному уравнению второго порядка соответствует однородное уравнение y'' - 5y' = 0. Его характеристическое уравнение:

k2 - 5k = 0, корни которого k1 = 0, k2= 5. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

. Имеем:

;

.

Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получаем: A = 5, B = 0, C = 5, D = -1.

Общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Ответ: .

Задание 14

Найти решение задачи Коши:

y(0) = 1 + 3ln(3), y'(0) = 10ln(3)

Решение

Данному неоднородному уравнению второго порядка соответствует однородное уравнение . Его характеристическое уравнение: , корни которого k1 = 2, k2= 4. Поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Запишем данное решение в виде: . Найдем производные:

, .

Составляем систему:

Определитель системы:

Таким образом .

Решим задачу Коши, для чего сперва найдем производную:

.

При х = 0, у = С1+ С2+ 3ln(3) - 1 = 1 + 3ln(3),

y' = 10ln(3) + 2C1+ 4C2- 2 = 10ln(3).

Имеем: С1+ С2= 2, 2C1+ 4C2= 2, откуда С1= 3, С2= -1. Таким образом:

.

Ответ: .

РАЗДЕЛ II

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Задание 1

Написать пять первых членов ряда. Проверить для данного ряда выполнение необходимого признака сходимости.

Решение

Для числового ряда необходимый признак записывается в виде: .

Применяя данный признак к нашему ряду, получаем: , т.е. признак выполняется.

Ответ: признак выполняется.

Задание 2

Исследовать ряд на сходимость с помощью признака сравнения:

Решение

Для сравнения возьмем ряд . Этот ряд сходится, как ряд геометрической прогрессии со знаменателем . В связи с тем, что для х є (-∞;∞), приходим к выводу, что сходится для х є (-∞;∞).

Ответ: ряд сходится.

Задание 3

Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера:

Решение

Согласно признаку Даламбера, если существует , то

при ρ < 1 ряд сходится, при ρ > 1 ряд расходится, при ρ = 1 ряд может сходиться или расходиться. Имеем:

, . Тогда .

То есть, согласно признаку, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Задание 4

Исследовать ряд на сходимость с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака:

Решение

Согласно интегральному признаку, если:

1) члены ряда составляют монотонную невозрастающую последовательность

;

2) можно построить монотонную невозрастающую функцию y = f(x) такую, что

f(0) = a0; f(1) = a1; ...; f(n) = an; ...,

то если сходится, тогда заданный ряд также сходится. Если же интеграл расходится, то и ряд расходится.

Члены нашего ряда составляют монотонную последовательность

Следовательно, функцией f(x) будет ; . .

То есть, согласно признаку, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Задание 5

Записать общий член ряда:

Решение

Данный ряд является знакочередующимся. Поскольку в числителе стоит порядковый номер члена ряда, а в знаменателе порядковый номер является показателем степени числа 2, то общий член ряда имеет вид: .

Ответ: .

Задание 6

Определить область сходимости функционального ряда:

Решение

Построим ряд . Для определения области сходимости последнего ряда воспользуемся признаком Даламбера:

.

Ряд сходится, если или -1 < x < 1, а значит и исходный ряд сходится абсолютно для х є (-1;1).

Ответ:(-1;1).

Задание 7

Разложить f(x) в ряд Тейлора по степеням разности х - х0, пользуясь определением ряда Тейлора. , x0= 4.

Решение

Выражение называется рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x0. Найдем значения членов ряда:

; ; . Имеем:

Задание 8

Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых члена). , y(0) = 0

Решение

Решение данного дифференциального уравнения будем искать в виде ряда Маклорена:

.

Имеем: ;

, ;

, ;

, .

Итак, четыре первых разложения имеют вид:

Ответ:

Задание 9

Найти неопределенный интеграл

Решение

Поскольку интегралы от функций и не выражаются через элементарные функции, будем искать выражение данного интеграла через степенные ряды. Для этого разложим sin(x) и cos(x) в ряд Маклорена. Имеем:

,

.

=

=

Таким образом:

=

=

РАЗДЕЛ III