Криптосистемы на основе эллиптических уравнений

Эллиптические кривые - математический объект, который может определен над любым полем (конечным, действительным, рациональным или комплексным). В криптографии обычно используются конечные поля. Эллиптическая кривая есть множество точек (x,y), удовлетворяющее следующему уравнению:

y² = x³ + ax + b,

а также бесконечно удаленная точка. Для точек на кривой довольно легко вводится операция сложения, которая играет ту же роль, что и операция умножения в криптосистемах RSA и Эль-Гамаля.

В реальных криптосистемах на базе эллиптических уравнений используется уравнение

y² = x³ + ax + b mod p,

где р - простое.

Проблема дискретного логарифма на эллиптической кривой состоит в следующем: дана точка G на эллиптической кривой порядка r (количество точек на кривой) и другая точка Y на этой же кривой. Нужно найти единственную точку x такую, что Y = xG, то есть Y есть х-я степень G.

Электронная подпись

В чем со­сто­ит про­бле­ма ау­тен­ти­фи­ка­ции дан­ных?

В кон­це обыч­но­го пись­ма или до­ку­мен­та ис­пол­ни­тель или от­вет­ст­вен­ное ли­цо обыч­но ста­вит свою под­пись. По­доб­ное дей­ст­вие обыч­но пре­сле­ду­ет две це­ли. Во-пер­вых, по­лу­ча­тель име­ет воз­мож­ность убе­дить­ся в ис­тин­но­сти пись­ма, сли­чив под­пись с имею­щим­ся у не­го об­раз­цом. Во-вто­рых, лич­ная под­пись яв­ля­ет­ся юри­ди­че­ским га­ран­том ав­тор­ст­ва до­ку­мен­та. По­след­ний ас­пект осо­бен­но ва­жен при за­клю­че­нии раз­но­го ро­да тор­го­вых сде­лок, со­став­ле­нии до­ве­рен­но­стей, обя­за­тельств и т.д.

Ес­ли под­де­лать под­пись че­ло­ве­ка на бу­ма­ге весь­ма не­про­сто, а ус­та­но­вить ав­тор­ст­во под­пи­си со­вре­мен­ны­ми кри­ми­на­ли­сти­че­ски­ми ме­то­да­ми - тех­ни­че­ская де­таль, то с под­пи­сью элек­трон­ной де­ло об­сто­ит ина­че. Под­де­лать це­поч­ку би­тов, про­сто ее ско­пи­ро­вав, или не­за­мет­но вне­сти не­ле­галь­ные ис­прав­ле­ния в до­ку­мент смо­жет лю­бой поль­зо­ва­тель.

С ши­ро­ким рас­про­стра­не­ни­ем в со­вре­мен­ном ми­ре элек­трон­ных форм до­ку­мен­тов (в том чис­ле и кон­фи­ден­ци­аль­ных) и средств их об­ра­бот­ки осо­бо ак­ту­аль­ной ста­ла про­бле­ма ус­та­нов­ле­ния под­лин­но­сти и ав­тор­ст­ва без­бу­маж­ной до­ку­мен­та­ции.

В раз­де­ле крип­то­гра­фи­че­ских сис­тем с от­кры­тым клю­чом бы­ло по­ка­за­но, что при всех пре­иму­ще­ст­вах со­вре­мен­ных сис­тем шиф­ро­ва­ния они не по­зво­ля­ют обес­пе­чить ау­тен­ти­фи­ка­цию дан­ных. По­это­му сред­ст­ва ау­тен­ти­фи­ка­ции долж­ны ис­поль­зо­вать­ся в ком­плек­се и крип­то­гра­фи­че­ски­ми ал­го­рит­ма­ми.

Итак, пусть име­ют­ся два поль­зо­ва­те­ля Александр и Борис. От ка­ких на­ру­ше­ний и дей­ст­вий зло­умыш­лен­ни­ка долж­на за­щи­щать сис­те­ма ау­тен­ти­фи­ка­ции.

От­каз (ре­не­гат­ст­во).

Александр за­яв­ля­ет, что он не по­сы­лал со­об­ще­ние Борису, хо­тя на са­мом де­ле он все-та­ки по­сы­лал.

Для ис­клю­че­ния это­го на­ру­ше­ния ис­поль­зу­ет­ся элек­трон­ная (или циф­ро­вая) под­пись.

Мо­ди­фи­ка­ция (пе­ре­дел­ка).

Борис из­ме­ня­ет со­об­ще­ние и ут­вер­жда­ет, что дан­ное (из­ме­нен­ное) со­об­ще­ние по­слал ему Александр.

Под­дел­ка.

Борис фор­ми­ру­ет со­об­ще­ние и ут­вер­жда­ет, что дан­ное (из­ме­нен­ное) со­об­ще­ние по­слал ему Александр.

Ак­тив­ный пе­ре­хват.

Владимир пе­ре­хва­ты­ва­ет со­об­ще­ния ме­ж­ду Александром и Борисом с це­лью их скры­той мо­ди­фи­ка­ции.

Для за­щи­ты от мо­ди­фи­ка­ции, под­дел­ки и мас­ки­ров­ки ис­поль­зу­ют­ся циф­ро­вые сиг­на­ту­ры.

Мас­ки­ров­ка (ими­та­ция).

Владимир по­сы­ла­ет Борису со­об­ще­ние от име­ни Александра .

В этом случае для за­щи­ты так­же ис­поль­зу­ет­ся элек­трон­ная под­пись.

По­втор.

Владимир по­вто­ря­ет ра­нее пе­ре­дан­ное со­об­ще­ние, ко­то­рое Александра по­сы­лал ра­нее Борису . Не­смот­ря на то, что при­ни­ма­ют­ся все­воз­мож­ные ме­ры за­щи­ты от по­вто­ров, имен­но на этот ме­тод при­хо­дит­ся боль­шин­ст­во слу­ча­ев не­за­кон­но­го сня­тия и тра­ты де­нег в сис­те­мах элек­трон­ных пла­те­жей.

Наи­бо­лее дей­ст­вен­ным ме­то­дом за­щи­ты от по­вто­ра яв­ля­ют­ся

* ис­поль­зо­ва­ние ими­тов­ста­вок,

* учет вхо­дя­щих со­об­ще­ний.

Возможные нарушения защиты сообщений,. посылаемых пользователем А пользователю В.