Лекція 3. Ускладнення математичних об’єктів. Розширення уявлень про функції

Математика має здатність, використовуючи узагальнення, від простих об’єк­тів, пере­хо­­дити до все більш складних. Так здійснюється перехід від елементів до множин, до функ­цій і перетворень об’єктів на базі введених опе­ра­цій. Так утворюються цілі систе­ми, які, в свою чергу, є математичними об’єктами і далі розглядаються їх множини, а потім зно­ву здійснюється перехід до функцій і перетворень вже на множинах цих систем і т.д. Загалом процес породження нових математичних про’єктів шляхом їх ускладнення здається нескінченним.

Як приклад таких систем, що розглядаються як математичні об’єкти, ми в наступному розділі продемонструємо алгебраїчні системи. Там же ми розглянемо введення відображень чи функцій на множинах алгебраїчних систем і познайомимся з морфізмом алгебраїчних сис­тем. В даній лекції ми розглянемо деякі корисні функції, операції над функціями, обернені функції, деякі властивості операцій над функціями.

1. Деякі корисні функції й операції над функціями. Розпочнемо з важливої функції слідування Пеано σ,для якої множина Р всіх додатних цілих чисел є і областю, і кооб­ла­стю. Кожному цілому додатному числу n вона ставить у відповідність чис­ло n+1: σ(n)= n+1, σ : Р→Р- функція з Р в Р. Функцію σ також можна задати (нескінченним) списком записів:

σ : 1 a 2, 2 a 3, 3 a 4, …, n a n+1,… .

Очевидно, образом Im σ функції σ : Р→Рє множина σ(Р) = {2,3,4,…}, яку ми позначимо символом Р₂.

Для довільної множини S тотожна функція 1s: S →S відображує будь-який елемент множини Sв себе: 1s(s) = s для всіх sÎS. Наслідком означення є той факт, що тотожні функції різних множин різні.

Визначення. Лівою композицією g○f будь-яких двох функцій називається функція, отри­мана в результаті їх застосування в порядку, оберненому написаному. Спочатку засто­со­ву­ється функція f, а потім - функція g за умови, що область функції g співпадає з кообластю функції f. Формально можемо записати: нехай f:S →T і g:T→U,тоді ліва композиція g○f є функція g○f: S → U, визначена правилом

(g○f)(s)=g(f(s)) для всіх sÎ S . (1)

Це спввідношення між трьома функціями f, g і h = g○f наглядно зображується такою діаграмою відображень:

Вона ілюструє ту обставину, що ми можемо перейти з множини S в множину U чи безпосередньо, застосовуючи функцію h, чи в два кроки, застосовуючи спочатку функцію f,а потім - функцію g.

Операцію правої композиції f ◊ g отримуємо з описаної вище операції лівої композиції перестановкою символів: f ◊ g = g○f. Нехай, наприклад, φ_m: R → R — операція піднесення до ступеня m, φ_m (x) = x^m. Подібно показнику ступеня m, символ функції φ_m можна записати праворуч від аргумента: x^m =xφ_m. Якщо домовитися писати символи функцій φ, ψ,… праворуч від аргументу, то природно записувати їх композицію також в правій формі, тому що тоді виконується правило (x φ) ψ = x (φ ◊ ψ). Так, в попередньому прикладі x (φ_m ◊ φ_n) = (x^m)ⁿ = x^mn = x φ_mn, отже, φ_m ◊ φ_n= φ_mn. Інтуїтивно перевага правої композиції в тому, що функції пишуться в тому ж порядку, у якому вони виконуються.

Далі для зручності та скорочення запису символ операції лівої композиції ○ іноді будемо пропускати: композиція позначається просто записом символів функцій-аргументів у рядок.

Лема 3. Композиція функцій підкорюється асоціативному закону:

(h ○ g) ○ f = h ○ (g ○ f) = f ◊ (g ◊ h) = (f ◊ g) ◊ h

Вважається, що всі записані композиції визначені. Хоча інтуїтивно це очевидно, тому що як h ○ (g ○ f), так і (h ○ g) ○ f отримуються послідовним застосуванням функцій f, g і h саме в такому порядку. Те ж можна сказати стосовно f ◊ (g ◊ h) і (f ◊ g) ◊ h.